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Construction géométrique : triangle équilatéral inscrit dans un cercle

On construit un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, en utilisant uniquement la règle et le compas. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

bonjour on nous demande de construire un triangle équilatéral inscrits dans le cercle qui est tracée ici en rouge donc il faut qu'on trace un triangle qui a trois côtés de même longueur et dont les sommets sont placés sur ce cercle alors je vais faire toutes les constructions avec géo j'ai bravé bien sûr tu peux faire exactement la même chose sur une feuille de papier avec une règle et un compas alors pour commencer ce que je vais faire ses traces et un autre cercle qui a exactement le même rayon et pour ça je vais placer la pointe de mon qu'on passe quelque part sur le cercle n'importe où par exemple ici et je vais tracer un cercle de rayon ap donc ce cercle que j'ai tracée en noir a exactement le même rayon que le cercle rouge ce qui veut dire que ici cette distance là eh bien on sait que c'est le rayon du cercle mais ce qui est intéressant il sait que ici je peux placer un point et que le segment que je trace comme ça le segment assez et bien c'est un rayon du cercle donc la longueur à c est la même que la longueur à b et puis je peux même dire que la longueur baissé et la même aussi puisque la longueur baisser c'est un rayon du cercle noir qui a le même rayon que le cercle rouge donc en fait ici j'ai tracé un petit triangle équilatéral abc alors évidemment c'est pas le triangle équilatéral qu'on doit tracer puisque il n'est pas inscrit dans le cercle les trois sommets ne sont pas sur le cercle mais ce petit triangle équilatéral va nous servir à construire le grand triangle équilatéral alors ce que je vais faire maintenant c'est utiliser ce point qui est là l'autre point d'intersection des deux cercles et ce qui est intéressant c'est que en fait ici le triangle à des baies ce triangle là et bien c'est aussi un triangle équilatéral en fait ce triangle la bd et le symétrique du triangle a baissé par rapport au rayon ab donc ça c'est intéressant parce que ici on a un angles de 60 degrés puisque le triangle abc est équilatéral et ici aussi en un angle de 60 degrés puisque le triangle à bd et équilatéral aussi ce qui veut dire que finalement l'angle qui hélas l'angle complet qui étend à et bien c'est un angle de 120 degrés alors pourquoi cet intéressant bien parce que 120 degrés c'est un tiers de 360 degrés ce qui veut dire que l'arc de cercle ici qui va de c à d et bien c'est un tiers de la circonférence totale du cercle rouge et ça c'est intéressant parce que évidemment pour construire un triangle équilatéral dans ce cercle il va falloir partager la circonférence en trois parties égales donc là j'ai un bon début ici qui est intéressant alors je devais nettoyer un petit peu cette figure je vais enlever le cercle que j'ai tracée je vais tracer un côté intéressant qui est celui là le côté cédé je vais m en rouge et je le leur rouge parce qu'effectivement ça va être un des côtés de notre triangle équilatéral finale alors qu'est ce que je vais faire maintenant et bien je vais tracer un diamètre de mon cercle donc celui ci la droite a b1 à droite qui passe par ab et qui me donne du coup un point d'intersection ici le point e que j'appelle eux est en fait l'âge est pratiquement terminée puisque quand je trace le côté e c et le côté ed par le segment eau c est le segment ed je vais les mettre tous les deux rouges alors pourquoi est-ce qu'on a terminé ici et bien déjà ce qu'on peut remarquer c'est que on a dit tout à l'heure que l'angle qui étaient ici en a eh bien c'était un angle de 120 degrés et on sait que l'angle inscrits qui intercepte le même arc de cercle que l'anglo centre à la moitié de la mesure donc l'angle qui est ici en eux eh bien c'est la moitié de 120 degrés c'est à dire que c'est 60 degrés alors ça c'est intéressant puisque dans un triangle équilatéral tous les angles ont une mesure de 60 degrés alors maintenant c'est pas terminé il faudrait arriver à démontrer que cet angle là est de 60 degrés et que celui ci aussi à mesure 60 degrés alors on va pas le faire exactement comme ça mais ce qu'on va remarquer c'est que ici on a un angle droit l'angle qui est ici on retrouve ici aussi alors je vais placer un point ici que je vais appeler f et ce qui est intéressant d'après ce qu'on vient de voir c'est que le triangle ecf et le triangle ef des sondés triangle ego puisque ils ont un côté en commun sont tous les deux un angle droit ici en chef est ici ils ont le même angle donc ces triangles là sont égaux ce qui veut dire que l'angle qui est ici est le même que celui qui est là donc finalement le triangle oecd est un triangle isocèle en eux et c'est un triangle isocèle qui a un angle ici de 60° donc les deux angles la mesure au total 120 degrés comme ils sont égaux ils mesurent tous les 2 60 degrés donc finalement on a effectivement terminé je vais enlever tous les segments qui ne nous servent plus voilà voilà et voilà et je vais même vous enlevez cette droite là voilà donc tu vois on a réussi à la passer un triangle équilatéral inscrits dans ce cercle uniquement en traçant des segments des droites et des cercles