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Test de Géométrie - Cercles, tangentes et cordes

Transcription de la vidéo

salut salut bienvenue dans la suite de ces problèmes de géométrie on reprend ici avec le numéro 71 et la question est la suivante quelle est la valeur de x dans le triangle ci dessous donc on voit notre triangle a baissé de côté de même longueur 7 longueurs et noté x1 côté de longueur 10 et l'hypoténuse puisque on a bien un triangle rectangle donc ce triangle a baissé en plus d'être rectangle il a deux côtés de même longueur il est donc isocèle les deux angles à la base ont la même mesure sachant qu'on a à 90° ici la somme des deux angles ici fait 90 degrés et ses deux angles sont égaux ce qui fait donc tout simplement 90 sur deux l'a2 angle de 45° à la base alors est-ce que ça va nous servir à quelque chose on va peut-être plutôt utilisé d'ailleurs le théorème de pythagore donc on a un triangle rectangle on va simplement appliqué le théorème de pythagore donc la somme des côtes et au carré x au carré +6 au carré est égal à l'hypoténuse au carré ça nous donne 2 x au carré qui est égal à 100 soit x au carré qui est égal sans diviser par deux ça fait cinquante et donc x qui est égale à la racine carrée de 50 alors est-ce qu'on peut simplifier un peu si on réfléchit bien 50 c'est égal à 2 fois 25 et 25 on connaît ça c'est le carré de 5 5 x 5 égal à 25 donc x peut aussi s'écrire comme la racine carrée de deux fois 25 c'est à dire cinq fois la racine carrée de 2 ça tombe bien on nous propose la réponse ici c'est la b5 racines de 2 donc voilà simplement on a appliqué le théorème de pythagore dans ce triangle rectangle qui en plus est isocèle ce qui nous a permis de trouver la longueur de ces deux côtés inconnu on passe à la suite le numéro 72 donc dans ce problème on cherche la valeur de zz c'est un côté du triangle exprimé en cm sachant qu'on connaît un angle de 30 degrés un angle de 90 et un côté de 7 cm alors on a deux angles donc on peut en déduire le troisième très rapidement ça va être tout simplement 180 - 90 + 30 ça fait 60 degrés donc on est dans le cas particulier de ce qu'on appelle un triangle 30 60 90 puisque c'est la valeur des angles de ce triangle alors immédiatement peut-être que tu connais quel est le rapport entre les longueurs des différents côtés lorsqu'on a un triangle qui respecte c'est trois valeurs pour les angles de toute façon si tu le connais pas on peut leur démontrer très rapidement ici comme ça ce sera utile tu seras faire et on pourra utiliser la relation sans scrupules dans ce problème donc c'est parti alors imagine qu'on dispose d'un triangle équilatéral donc trois côtés de même longueur on va les appeler x voilà notre côté et bien sûr trois angles égaux à 60° donc en rajoutant la bissectrice d'un des trois angles de nos triangle donc c'est cette droite qui coupent l'angle en deux angles de même mesure donc qu'ils vont donc faire 30 degrés dans un triangle équilatéral la bissectrice et la hauteur elle coupe le côté opposé de manière perpendiculaire en deux segments de même longueur donc ici on retrouve x sur deux ici on retrouve x sur deux et donc on a fait apparaître deux triangles qui sont totalement symétrique superposables semblables ces deux triangles 30 60 90 comme on les appelle et donc en appliquant simplement pythagore dans un de ces deux triangles et ben on va voir connaître le rapport entre les longueurs des co t on à x sur deux au carré plus on va l'appeler y au carré qui est égal à ixxo carrés ce qui donne en fait que y au carré est égal à ixxo carré - xo carrés sur quatre donc y au carré est égal à trois quarts 2 x au carré et donc y est égal à racine de 3x divisé par deux et donc pour résumer les valeurs des trois côtés dans un triangle 30 60 90 dont les angles sont 30 60 et 90 degrés c'est d'abord pour l'hypoténuse le plus grand côté x pour le plus petit côté x sur deux et enfin pour le dernier côté ses racines de 3 x sur deux donc ça c'est un résultat que tu peux retenir ou apprendre à me démontrer comme je viens de le faire donc si on procède par identification en utilisant ces formules qu'on vient de démontrer ici ça nous donne donc l'hypothénuse vos deux fois la valeur du côté plus petit donc l'hypoténuse vaut 14 cm je veux marquer ici 14 cm à partir de là on n'a même pas besoin d'impliquer le théorème de pythagore puisque on vient de démontrer que le troisième côté a pour longueur racines de 3 x sur deux sachant que ici dans cette démonstration x7 et l'hypoténuse donc ici c'est 14 cm ce qui nous donne pour le troisième côté qui s'appelle aide ici on a donc z est égal à racine de 3 sur deux points 14 14 cm donc z est égal à cette racine de trois et c'est bien la réponse à problèmes suivants numéro 73 soit un cercle et un carré ayant le même centre le diamètre du cercle est égale à la longueur du côté du carré dans ce cas particulier que vaut alors le rapport de l'ère du cercle sur l'air du carré donc si je fais un petit schéma ça nous fait un cercle inscrit à l'intérieur du carré cercle et en jean avec les côtés du carré en quatre points il a le même diamètre qui vaut la longueur du côté du carré et bien sûr ils ont le même centre donc si on appelle à la longueur du côté de ce carré qu'elle ait l'air du cari simplement l'air du car et c'est facile c'est le produit des côtés c'est donc petit à au carré ensuite qu'elle ait l'air de ce cercle donc le rayon du cercle c'est un sur deux c'est la moitié du côté l'ère du cercle c'est quelque chose que tu connais par coeur c'est pie x le rayon au carré donc ici un sur deux au carré donc l'ère du cercle vos pie x à carrer / 4 et donc ensuite on nous demande le rapport que je vais appeler grands airs de l'ère du cercle donc à 0 sur un carré qu'est ce que ça vaut ça ça vaut pis un carré sur quatre et on a vu que l'ère du carré c'était simplement un carré donc ça se simplifie en haut et en bas à carrer disparaît et le résultat s'est appuyé sur quatre donc le rapport entre ces deux aires vos pis sur quatre ce qui nous est proposé en réponse d ici on passe aux 74 dans le cercle ci dessous à b et c des sondés cordes qui se croisent au point e donc on a un cercle de cordes de se serrent qu'elle se croisent au point e attention ce n'est pas le centre du cercle on retient bien ça on nous dit si a eu également 5 donc à égal 5 je le marque ici ben égale 12b eux c'est ce segment et c e égal 6 le marquer la quelle est la longueur de d alors tu es e je vais l'appeler x donc là on va se servir d'une propriété des cordes qui sont ces quand dans un cercle je vais pas l'art démontré ici par contre si tu as envie de t'entraîner ou de vérifier ça tu peux aller chercher d'où vient ce résultat ou essayer de leur prouver par toi même donc on va simplement utilisé ici le fait que lorsqu'on a deux cordes qui se croisent on peut écrire que le produit a eu donc 5 x b e xii est égal au produit des deux autres segments c'est à dire c'est eux six fois d e x donc si on réarrange cette équation ça nous donne x qui est égal à 5 x 12 sur six or 12 ces deux fois six semaines nous reste 5 x 2 et bien sûr x vaut alors disent ce qu'on nous propose en réponse est ici on passe à la suite le soir 15 problème 75 la droite d es tangente au cercle de centre a au point b donc notre droite des c'est celle avec les flèches ici le cercle de centre aura bien sûr et là et le pointe en jean est situé ici médée est un diamètre du cercle ok très bien quelle est la mesure de l'angle cbr donc une fois de plus si on comprend bien et on intègre bien les hypothèses de l'énoncé eh ben on va pouvoir résoudre rapidement ce problème donc on nous dit que la droite des qui ici est représenté avec une double flèche et tangentent au cercle de centre a au point b ce qui veut donc dire que on a un angle droit au point b entre cette droite et le diamètre arrivant au point b donc par définition puisque la droite des étangs jantes au point b et que bd est un diamètre du cercle alors on a un angle droit c'est-à-dire qu'on à 90 degrés je le marque et en grand ici cet angle mesure 90 degrés il va donc après c'est très simple puisque on cherche la mesure de l'angle cbrc br on voit que cbr et cba sont des angles complémentaires leur somme fait 90 degrés donc cbr plus 25 degrés puisqu'on connaît un par l'énoncé la valeur de l'angle cba est égal à 90 degrés ce qui donne cbr est égal à 65 degrés donc c'est la réponse b ici qu'est la bonne réponse donc je suis arrivé au bout de cette petite vidéo il n'en reste plus qu'une pour finir le test de géométrie donc je te dis à très bientôt