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Test de Géométrie - Pythagore et constructions au compas

Transcription de la vidéo

bienvenue à toi on continue ici avec la suite du test géométrie est donc le problème numéro 51 la figure ci dessous est utile pour démontrer le théorème de pythagore qu'on voit qu'on a un grand carré avec un petit carré un briquet et tournées à l'intérieur parmi les propositions laquelle n'est pas utile donc on a bien dit n'est pas utile pour démontrer le théorème de pythagore donc on a quatre propositions alors ce qu'on va faire c'est qu'on va démontrer nous même avec cette donnée ce schéma le théorème de pythagore et ensuite on va regarder quelles sont les hypothèses qu'on a utilisé et parmi les réponses proposées laquelle est inutile pour faire cette démonstration donc c'est parti allons-y on a donc un carré qui a pour coter à plus paie donc sachant que c'est un carré on retrouve b ici à ici qu'elle ait l'air de notre grand carré donc je vais l'appeler à un l'ère du grand carré c'est tout simplement comme c'est un quart et bien sûr le produit des côtes et donc ça va être un plus peu aux caries donc ça on peut le développer très simplement tu connais j'imagine la formule parker a + b au carré c'est égal à au carré plus bo carré + 2 ab au caire ensuite est-ce qu'on peut exprimer l'air de ce grand carré à un de manière différente alors effectivement on nous a découpé ce grand carré en quatre triangles rectangles identiques et un carré central de côté c'est donc on peut écrire aussi que à 1 c'est égal à l'ère du petit carré c'est à dire un carré de côté c'est à dire c'est au carré plus quatre fois l'ère des triangles je vais l'appeler à triangle c'est donc si je développe c'est au carré plus quatre fois l'air d'un un seul des triangles un seul le triangle c'est toujours un demi de base fois auteur donc un demi de ab ce qui donne c'est au carré + 2 ab bon bah là on vient d'exprimer la mémère c'est-à-dire l'ère du grand carré là je vais là surligné en rouge on vient façon différente d'abord en utilisant le fait qu'on connaît le côté de ce grand caresser a + b et ensuite simplement en nous faisant la somme des triangles rectangles et du carré qui sont à l'intérieur donc ça nous donne une égalité à au carré plus bo carré + 2 ab qui est égal à ces au carré + 2 ab immédiatement on voit que ça simplifie on a deux abbés de chaque côté de l'équation et on obtient au miracle à au carré plus bu au carré est égal au ces au carré c'est bien le théorème de pythagore tel qu'on le connaît puisqu'on a bien c'est qu'ils aient l'hypoténuse et a + b qui sont les deux autres côté du triangle donc si on jette un coup d'oeil aux réponses qu'on a ici est-ce que l'air d'un triangle est un demi de ab ça nous a servi oui on s'en est servi pour exprimer quand décompose l'ère du grand carré en triangle plus rectangle est-ce que les cas triangles rectangles identiques ça nous a servi oui puisqu'on a multiplié quatre fois l'air d'un seul des triangles l'ère du petit carré est égale à la moitié de l'ère du grand paris donc non ça ça nous a pas servis donc sa proposition n'est pas utile pour montrer le théorème de pythagore et enfin raiponce dé l'ère du grand carré est égale à la somme des airs des quatre triangles identique et du petit carré donc oui c'est effectivement le raisonnement qu'on a utilisées pour montrer ce théorème de pythagore ok très bien problème suivant numéro 52 l'hypoténuse d'un triangle rectangle vos 5 si un autre côté de ce triangle mesure 2 quelle est la longueur du troisième côté donc petit chemin du problème voilà notre hypothèse use de côté 5 et voilà notre triangle rectangle il pas très joli mais ou à imaginer qu'il y rectangle agents qu'on a un côté qui mesure 2 et l'autre on va l'appeler x c'est le côté qu'on cherche à trouver donc triangle rectangle bien sûr on est dans le chapitre en plus c'est pythagore donc en écrivant pythagore on à ixxo carré plus de au carré qui vaut cinq au carré ce qui donne x au carré est égal à 5 fois 5 25 - 2 x 2 4 - 4 c'est-à-dire 21 donc x est égale à la racine carrée de 21 ce qui est proposé en réponse b donc on a eu droit une question facile question suivante 53 une nouvelle conduite d'égout est construite pour éviter une zone naturelle protégée selon le plan ci dessous donc on voit on avait l'ancienne conduite qui allait tout droit et la nouvelle qui fait un coude comme ça on nous donne 60 km d'un côté et 32 km de loterie on nous dit qu'on a un angle droit ici donc on se retrouve avec en fait un triangle rectangle entre l'ancienne conduite et la nouvelle conduite de combien de kilomètres et rallonger cette conduite alors ce problème c'est bien sûr un cas réel une cas concrets mais ça nous empêche pas du tout d'appliquer les mathématiques en particulier dans ce triangle formé par l'ancienne conduite et la nouvelle conduite qui comme on l'a vu est un triangle rectangle donc si j'appelle x le côté la longueur de cette ancienne conduite et qu'on applique pythagore ça nous donne 60 au carré +32 au carré qui est égal à ixxo carré x étant bien sûr l'hypothénuse si je développe sonne donc 60 x 60 sont que ça c'est facile 6 x 6 36 ça nous fait 3600 plus donc 32 au carré 32 au carré on va faire le calcul détaillé ici deux fois 2 4 2 fois 3 6 3 x 2 6 3 x 3 9 pendant que j'ai oublié décaler ensuite on some ça fait 4 6 et 6 12 je pose deux je retiens 1,10 donc 1024 donc on en est à 3600 plus 1024 qui est égale 1 x au carré donc ça implique que x aucun pays est égal à 4624 et donc x qui est égale à la racine carrée de 4624 alors bien sûr racine carrée de 4624 c'est pas quelque chose qu'on peut calculer très facilement et je t'avouerai que moi même je connais pas la valeur donc ce qu'on peut faire c'est qu'on peut regarder déjà ce que ça donne le carré des solutions qui sont ici pour avoir au moins un an de grandeur si ce n'est la valeur exacte de ces de cette racine donc 24-24 au carré c'est 4 fois 400 chevaux si je retiens un x 4 8 et 1 9 2 x 24 48 6 10 7 576 donc déjà on voit que la racine carrée 2 4624 va être plus grand que 24 qu'est ce que ça donne si on élève au carré 68-68 tôt car il faut à 8,64 je pose quatre et je retiens 6,6 fois 8,48 et 6 54 je décale six fois à 8,48 je pose 8 et je retiens 4 6 x 6 36 et 4,40 donc on additionne tous à 4,8 et 4,12 je pose deux je retiens 1,5 et 1,6 4624 donc là on a de la chance c'est pile la bonne valeur c'est à dire que la racine carrée de 4624 ses 68 donc la valeur de la longueur de l'ancienne conduite ses 68 et bien sûr on est en kilomètres ici donc la question attention on se rappelle bien c'est de combien de kilomètres et rallonger cette conduite donc avant l'eau circuler directement tout droit c'est-à-dire parcourait 68 km maintenant elle va faire les deux autres côté de ce triangle rectangle donc le nouveau trajet jusqu'à l'appeler n par exemple comme nouveau le nouveau trajet c'est 30 de plus 60 c'est à dire 92 l'ancien trajet cx c'est 68 donc combien de kilomètres et rallonger c'est la différence entre les deux donc c'est 92 - 68 et ce qui nous donne bien 24 donc de combien est rallongé cette conduite avec ce nouveau coup de ce nouveau triangle rectangle à signer ici l'eau va parcourir 24 km de plus et donc c'est la réponse à qui est correct on passe donc aux problèmes 54 clara utilise un compas et une règle pour faire la construction suivante donc on reconnaît de droite la droite elle est une seconde droite un point p ici et des arcs de cercle tracé au compas qui sont représentés à orange ici quelle construction clara cherche à faire alors si on essaie de décrypter un peu ce qui a été fait ici on voit que clara probablement en planter son compas ici voilà ici et ensuite à la trace et un premier arc de cercle qui est celui ci envers hockey ensuite en gardant le même écartement pour le compas la plante est certainement ici est tracée cet arc de cercle avec la même distance voilà je vais y arriver hockey ensuite en choisissant point p comme centre pour planter son combat elle a tracé cet arc de cercle puis de la même façon en plantant son compas avec le même écartement ici elle a tracé ce quatrième arc de cercle donc pourquoi elle a fait ça tout simplement parce que ça nous permet de tracer une droite parallèle à l passant par p effectivement on reconnaît que en ayant tracé ces deux angles de même mesure on se retrouve dans la situation d'angle correspondant formé par deux parallèles et une c'est quand alors on peut maintenant regarder les réponses pour voir si on avait raison sur cette construction déjà la première réponse nous dit une droite parallèle à l passant par p effectivement c'est à mon avis exactement ce que kara cherché à faire et ne cherchait pas à tracer une sait quand ni à dessiner une fleur bien sûr il ya tracé une perpendiculaire donc c'est bien la réponse sera qui convient ici on passe à la suite problème 55 donc voilà notre problème quelle est la première étape pour construire la bissectrice de l'angle 1 donc on a notre angle béa c'est ici et la bissectrice est construite en pointillés on voit les traces de compass qui nous ont permis de la construire donc il ya un premier arc ici et ensuite il ya deux arcs ici alors pour rappel je remets une petite image de ce que c'est qu'un combat un combat c'est un outil avec deux branches une pointe qui sert de point fixe pour fixer sur la feuille et la deuxième pointe qui sert bien sûr avec un crayon à tracer notre cercle nous arc de cercle donc je rappelle au passage la bissectrice c'est la demie droite qui séparent un angle en deux angles égaux donc ça veut dire que cette mesure ici c'est la même que cette mesure ici donc comment la construire cette bissectrice avec un compas et bien on peut retracer en retrouver facilement avec les articles qui sont dessinés ici la première étape s'est planté son compas au bout de langue au sommet de l'angle et tracer un arc de cercle donc je vais le refaire ici mais on imagine que j'ai un combat dans la main voilà un arc de cercle et on coupe les côtés de cet angle en deux points qu'on a nommé b et c ensuite en gardant le même écartement on va planter au premier point notre combat au point b on va tracer un premier de cercle ça va nous donner ça va nous donner ça de la même façon on va planter le compas de l'autre côté sans changer son écartement et on va obtenir cette deuxième arc de cercle qui coupe le premier en un point qu'on appelle le point d et donc ce point d et equities en de b2c et la demie droite qui coupent l'angle en deux parties égales c'est à dire la bissectrice passe nécessairement par ce point comme cette bissectrice a pour origine aussi le sommet de l'angle et bien il suffit d'avoir ces deux points pour la trace est donc relier le point a et le point d donc parmi les réponses proposées quelle est la première étape pour construire la bissectrice de l'angle ce n'est pas tracé rayon un début ce que ça c'est la dernière étape face est le segment qui relie le point b le point c'est ça sert à rien tracer des arcs identique depuis b et c qui se coupe en dés donc ça c'est plutôt la deuxième étape puisqu'il faut déjà avoir dessiné les points b les points c est donc enfin depuis le point a tracé un arc qui coupe les côtés de l'angle au point b et c il ya un pluriel qui s'est perdue ici je rajoute le petit x1 au hockey effectivement ça c'est la bonne réponse c'est la première étape pour tracer la bissectrice ok on va s'arrêter là puisque toute façon l'heure tourne et puis je te dis à bientôt dans la prochaine vidéo