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Un défi avec un périmètre

Transcription de la vidéo

le rectangle ci contre a été divisé en neuf carrés qui ne se chevauchent pas on sait que la largeur et la hauteur de ce rectangle sont des nombres entiers premier entre eux calculez le périmètre du rectangle bon alors là on a ce rectangle c'est un rectangle ici et les divise en neuf carrés qui se chevauchent pas donc l'écart et se touchent sans se sent passer les uns sur les autres on sait que la largeur et la hauteur de ce rectangle sont des nombres entiers sont des nombres entiers qu'en plus ils sont premiers entre eux alors premier entre eux qu'est ce que ça veut dire que le seul diviseur commun de la longue de la largeur et de la hauteur c1 alors ça je pense que c'est simplement pour éviter qu'on est par exemple de solution comme ça si on a le choix entre deux solutions qui sont une un rectangle qui aura des dimensions comme ça et l'autre un rectangle qui aura des dimensions comme ça on voit bien que la dans ce cas ci la led les dimensions 5 et 15 ont des facteurs communs elles ont un diviseur commun pardon c5 et du coup on ne voudra pas ce cas là on va privilégier plutôt celui ci où les dimensions sont un et trois non pas diviseurs comme un autre que enfin le plus grand diviseur commun ici d'entre ces de la c1 donc voilà le fait que les dimensions de serait grand rectangle sont des nombres entiers premier entre eux ça veut dire qu'on va privilégier ce cas là donc ça permettra d'éliminer un certain nombre de cas possible voilà c'est tout alors bon on va oublier ça pour l'instant et on va travailler dans ce grand rectangle alors je te conseille d'essayer de ton côté de mettre un peu sur pause et d'essayer de planifier un peu ta démonstration ton raisonnement après on va le faire ensemble alors moi je vais le faire de cette manière là est sûrement plein d'autres façons de faire mais moi je vais commencer par le petit le tout petit rectangle carré pardon qui est ici à l'intérieur le plus petit de tous et je vais appeler son côté xx x alors donc ça c'est un carré de côté x donc ici on a aussi la longueur x et puis celui qui est à côté là je peux par exemple cinq arrêts aussi et donc je peux par exemple dire que il à côté y voilà donc cinq arrêts de côté y donc là on va retrouver y aussi sur ce côté 1 j'ai plutôt le mettre à l'extérieur voilà alors du coup ci ça c'est y est ça c'est x finalement on peut en déduire la longueur en fonction de x et y de ce côté du côté de ce quart est un peu plus grands qui est ici alors je vais le faire mais bon là je vais procéder différemment parce que si je commence à écrire les côtés partout où je vais plus rien y comprendre donc je vais faire quelque chose qui est pas tout à fait habituelle mais bon je vais écrire à l'intérieur la longueur du côté à l'intérieur du car et je vais écrire la longueur de son côté attention c'est pas l'air c'est la longueur du côté donc ça ici là quand j'écris x dans ce petit carré ça veut dire que c'est un carré de côté x1 alors là je vais avoir ici je vais l'appeler y cinq arrêts de côté y du coup celui qui est au dessus celui qui est au dessus un peu plus grand puisque la gx et l'ag y le côté de ce carré lab c'est tout simplement x plus y des mesures x plus y je vais respecter les couleurs x plus y alors du coup qu'est ce que je peux en déduire jeu peut en déduire la longueur du côté de ce carré si puisque ici gx et la gx plus y donc ce carey qui est ici son côté mesure 2 x x + 6 plus y 2x plus y alors une fois que j'étais terminé la longueur du côté de ce quart est là et puis celle du côté de ce carré si finalement j'ai déterminer la longueur de tout ce côté là c'est à dire la longueur du côté de ce quart est ce quart est un petit peu plus grand donc s'achever je vais l'écrire alors c'est tout simplement ce côté-ci plus ce côté là donc ça fait 2 x plus y +6 plus y c'est à dire en fait j'ai 2x plus 6 a fait 3 x 3 x plus y puisse y c'est à dire 2 y 3 x + 2 y est bon là tu vois de proche en proche des arrivées peut-être à déterminer en fonction de x et y la longueur 2 du côté de chaque de chacun des cas règles sont dessinés là alors maintenant qu'est ce que je peux dire je peux trouver la longueur de ce côté ici puisque ça sera simplement 3x plus de six grecs plus 2x plus y donc là je vais additionner tous les x déjà jonglé 3x plus de zik ça me fait 5 x donc ce grand carré il a pour coter 3 5x plus 3 y voit là alors je peux faire la même chose de l'autre côté alors ici ce côté là ce côté là c'est 3 x + 2 y +6 plus y plus il y donc ça me fait 3 x + 6 j'additionne tous les x 1 3x plus 6 ce qui fait 4x plus maintenant je vais additionner tous les y donc j'ai deux y plus y plus y ça me fait 4 y 4 x + 4 y voilà maintenant je donc je peux soit exprimée la longueur de ce côté-ci ou bien celui celle de ce côté siens donc je vais commencer par là là ici ce côté là c'est 4 x + 4 y plus y donc ça me fait 4x plus y +4 y c'est à dire 5 y 4x +5 y ici et puis là je vais pour exprimer la longueur du dernier carré du côté du dernier carré pardon je vais partir de ça de cette somme ici puisque c'est ce côté là plus ce côté là plus ce côté là c'est à dire 5 x + 3 y plus 2x plus y +6 alors j'additionne tous les x me fais 5 x + 2 x c'est-à-dire 7x plus encore un x 8 x alors 8x plus maintenant je vais additionner tous les y 3 y plus y c'est à dire 4 y voilà alors là j'ai exprimée du coup les longueurs des côtés de tous les carrés qui sont dans cette union ce rectangle en fonction de x et y maintenant il faut que j'essaie de déterminer ses x et y pour pouvoir après on déduire les dimensions du rectangle alors la première chose que je peux faire c'est exprimer la hauteur de ce rectangle c'est à dire cette dimension là donc je vais le faire comme ça alors ça comment je fais pour expo pour exprimer cette cet auteur et bien c'est tout simplement la longueur de ce côté plus la longueur de ce côté c'est à dire 5 x + 3 y plus 8 x + 4 y alors ça me fait j'additionne tous les x 5 x + 8 x a fait 13,6 et puis les y c'est 3 y +4 et grecque c'est-à-dire cette y voilà mais bon je peux faire la même chose en partant de l'autre côté partant de la hauteur exprimé de l'autre côté parce que ici j' ai pas écrit les mêmes les mêmes choses j'ai pas découper la hauteur de la même manière donc je vais peut-être obtenir quelque chose d'intéressant donc ici si j'écris cet auteur pardon je veux donc ici si j'écris la hauteur en partant des mesures que j'ai déterminé ici je vais écrire que ces 4 x + 4 y + 4 x + 5 y c'est à dire en fait 8 ticks +9 y4 y +5 y c'est à dire neuf y voilà alors maintenant ça ces deux manières d'exprimer la même hauteur 1 donc on va avoir une équation une équation seulement avec deux inconnus x et y je vais écrire ça donc c'est 13 x + 7 y qui doit être égale à 8 ticks +9 y 8x +9 y alors là je vais passer tous les x d'un côté tous les y de l'autre donc je vais faire 13 x - 8 x ça me fait 5 x 5 x et ça ça va être égal à 9 y -7 y c'est à dire 2 y voilà donc là en divisant par 5 des deux côtés je peut en déduire une relation entre x et y qui va être assez intéressante c'est que x est égale à deux cinquièmes de y x est égale à deux cinquièmes de y voilà alors évidemment c'est pas tout à fait satisfaisant pour l'instant parce que on a que une équation avec deux inconnues donc on n'est pas capable encore de déterminer x et y en tout cas pas de manière unique pourrait avoir plusieurs façons de choisir x et y alors on va regarder ce qui se passe quand on fait la même chose avec la largeur qui est ici alors la largeur canton l'expriment en additionnant c'est tout ses côtés qui sont ici je vais avoir 5 x + 3 y + 3 x + 2 y + 4 x 4 y ça c'est toute la largeur qui est ici donc là je vais écrire ça me fait 5 x 3 x 8 x + 4 x 12 x 12 x plus tous les y alors les y sam en fait 3 + 2 + 4 ça fait donc 7 12 x + pas 7,9 bardon 12 x +96 grecque et quand je vais faire la même chose par en dessous par la largeur calculé de saoula ici je vais trouver 8 x + 4 x donc c'est ce côté ci plus ce côté ci donc c'est à dire 8 x + 4 y + 4 x + 5 y est ça me donne 12 x 12 x + 9 y aussi alors bon ça c'est un peu décevant parce que ça veut dire que quelle que soit la valeur de x et y cette équation est toujours vérifier un 12x plus ne figuraient que c'est toujours égale à 12 x + 9 y donc finalement considérer les largeurs ça n'apporte rien on n'a rien à voir on a aucune indication de plus en considérant les largeurs alors ça veut dire aussi que finalement il n'y a pas qu'une seule solution il y en a plusieurs puisqu'on a une équation avec deux inconnus alors maintenant il faut utiliser le fait qu' on doit avoir des nombres entiers alors déjà sa première chose on doit avoir des noms entier ensuite on doit avoir des nombres premiers entre eux donc le fait que ce soit des nombres entiers ça veut dire que bon il faudra que x et y soient des nombres entiers aussi a priori alors si je prends y plus petit qu 5 ça va pas marcher puisque x ne sera pas entier donc je vais prendre déjà y égale 5 alors j'ai essayé ça me donne y si je prends choisi y égale 5 du coup x c'est deux cinquièmes de 5 c'est à dire 2 donc x c'est égal à 2 et dans ce cas là je vais calculer la largeur et la hauteur donc la hauteur ça va me faire 13 x 2 c'est-à-dire 26 plus cette fois 5,7 x 5 ça fait trente-cinq donc là je les trouvais 61 donc la hauteur dans ce cas là ça sera 61 et la largeur du coup ça sera alors 12 x 2 2 x 2 ça fait vingt-quatre + 9 x 5 45 45 donc on trouve que ça fait soixante neuf hélas cette solution elle marche puisque 61 et 69 donc les deux dimensions du rectangle elles n'ont pas de ça de diviseur commun du grand diviseur commun de 61 et 69 c1 donc ce sont des nombres premiers entre eux donc ces deux valeurs là 2x et de y satisfont aux conditions qui nous sont demandés donc voilà une solution c'est un rectangle de hauteur 61 et de largeurs 69 ça ça pourrait aller donc on a presque terminé là on a pratiquement terminé ne reste plus qu'à calculer le périmètre de ce rectangle alors ça c'est parce qu est plus difficile le périmètre on va le calcul et c'est tout simplement le tour donc on va faire d'abord 61 +69 +61 plus encore une fois 69 voilà bon alors ça c'est une addition on va la faire alors le c'est pas mal quand même de regarder comment comment on peut faire les choses le plus rapidement possible ici 61 +69 ça fait 61 +9 safa faire 70 donc on va faire 70 plus 60 et ça ça fait 130 donc 130 et là c'est pareil c 130 donc on va avoir finalement deux fois 130 130 +130 c'est-à-dire 260 et voilà là on a trouvé le périmètre du rectangle c'est à dire qu'on a fini le problème qui nous étaient posées