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La démonstration du théorème de Pythagore par les triangles semblables

Une démonstration utilisant des triangles semblables. Hors programme en France. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

un petit avertissement avant de commencer dans cette vidéo le segment ab est noté comme ça ab entre crochets mais dans certains pays il peut être notés à virgule b entre crochets comme ceci cette vidéo on a noté la longueur ap comme cela avait tout simplement mais dans certains pays en la note comme cela à b entre deux barres verticales donc ici j'ai dessiné un triangle rectangle abc donc on sait que c'est un triangle rectangle puisqu'il a un angle à 90° ici un angle droit que j'ai marqué avec un petit carré est ce que tu as vu dans les vidéos précédentes c'est qu'on appelle le côté qui efface à l'angle droit on l'appelle l'hypothénuse hypo ténue et l'hypoténuse et bien c'est un mot un peu compliqué juste pour dire que c'est le côté qui efface à l'angle droit et qui est le plus long côté du triangle ici donc maintenant ce que je vais faire dans cette vidéo c'est que je vais te montrer une autre démonstration du théorème de pythagore et pour ça je vais appeler les longueurs du triangle ici petit à petit b est petit c'est pour l'hypoténuse ici alors ici il faut bien que tu remarques que j'appelle les longueurs avec des lettres minuscules et que ici au contraire les points qui sont les sommets de mon triangle donc ici ici et ici je les ai appelés à baisser mais avec des lettres majuscules donc c'est bien la différence entre les minuscules et les majuscules ici donc le théorème de pythagore ici nous dit qu'il y a une relation entre les longueurs du triangle rectangle à b et c est donc c'est ce qu'on va montrer ensemble maintenant est la première chose que je vais faire c'est que je vais dessiner un segment qui va de ses jusqu'à l'hypoténuse ici de telle sorte que l'intersection entre mon segment et l'hypoténuse passe ici un angle droit donc je vais le marquer ici donc il y à un angle droit et on appelle des le point d'intersection de ce segment avec l'hypothénuse et donc je vais te montrer intuitivement qu'il est toujours possible de dessiner un segment cd tels qu'ils soient perpendiculaire à l'hypothénuse donc si on redessine notre triangle mais cette fois-ci qu'on le retourne comme ceux ci de telle manière que l'hypoténuse soit en bas donc on a toujours notre angle droit ici notre point c est ici c'est le même qu'ici donc on à l'angle droit et 6 on a un angle droit et c'est le point c on a b ici et on aa ici donc imagine que je me trouve au point c est que je lance une pierre et je lance ma pierre et elle va tomber tout droit jusqu'à l'hypoténuse béa et donc l'angle de la trajectoire de la pierre avec l'hypoténuse va former un angle droit donc c'est juste une manière intuitive de te montrer qu' il est toujours possible de dessiner comme ça un segment cd qui sera perpendiculaire à l'hypothénuse de cette manière donc maintenant on retourne à notre démonstration et on va essayer de montrer que le triangle adc est semblable au plus grand triangle a b c est donc ce qu'on peut voir déjà c'est que ici on a un triangle rectangle ad c'est un triangle rectangle puisqu'on a construit le segment cd tels qu'ils soient perpendiculaire à l'hypothénuse ce qu'on peut voir aussi c'est que les deux triangles donc le plus grand triangle ici est le plus petit triangle adc ici ont un angle en commun qui est l'anglais est donc vu qu'ils ont deux angles en commun langlois et un angle droit ici où j'ai remarqué que ici donc notre plus grand triangle à un angle droit donc vu qu'ils ont deux angles commun on en déduit que le troisième angle celui ci dans adc et celui ci dans mon plus grand triangle sont identiques donc on a deux triangles qui ont exactement les mêmes angles et on dit que ces triangles là sont semblables donc le triangle à d c'est donc qu'ils aient ce triangle ici là voilà il est semblable au triangle au triangle alors l'angle à est identique ensuite l'angle des dents mon triangle ici est égal à l'angle c'est dans le triangle à céder donc j'écris c'est ici et ensuite l'angle c'est dans mon triangle ad c'est donc celui ci est identique au trio à l'englobé donc j'écris b ici donc les triangles adc et les triangles hasebe sont semblables et puisque ces triangles sont semblables on peut établir une relation entre les côtés de ses deux triangles et on sait que dans les triangles semblables à des sur ac qui va être égal au rapport des longueurs ah c'est sûr ab voilà donc en fait si tu ne veux pas te tromper une fois que tu as écrit que les triangles adc hasebe sont semblables ici il suffit juste de prendre ce rapport là sur ce rapport ici qui sera égal à ce rapport là sur ce rapport ici donc c'est bien ici ce qu'ont donc maintenant on va juste simplifier cette écriture avec les petits abc qu'on a défini tout au début donc assez qu'est ce que c'est ici assez on sait que c'est a donc je peux marquer a ici donc ici aussi ab on sait qu on sait c c'est ce qu'on a défini au début c'est l'hypothénuse par contre pour ad on n'a pas défini de distance donc on va tout simplement dire que à d ici ce sera égal à des des donc je vais notez donc j'ai pu trop de place donc je vais juste effacés ici l'hypoténuse juste pour avoir un peu plus de place et pouvoir de montrer la notation donc ici cette distance là jusque ici jusqu'au point d on appelle ça des et on va appeler cette petite distance là donc jusqu'au point b on va l'appeler eux donc en fait ici on a des plus eux qui sera égal à ses dons qu'on a ce petit d'ela et si on réécrit ça un peu plus proprement ce qu'on voit c'est qu'on a donc des sur à qui est égal à à sursee et ça qu'est ce que c'est et bien c'est tout simplement à carrés qui sera égal à c/d donc déjà ça c'est intéressant on va s'intéresser à l'autre triangle qui composent le triangle abc donc c'est ce plus petit triangle là est ce qu'on va montrer c'est qu'il est aussi équivalent au triangle à baisser au plus grand triangle ici donc dans ce tout petit triangle là ce qu'on avait vu c'est que donc on a un angle droit ici pareil et aussi on a un angle commun avec le plus grand triangle c'est-à-dire l'englobé donc l'englobé ici est identique pour le plus petit triangle des baissés et le grand triangle abc ici il en résulte que pareil que tout à l'heure cet angle là ici sera identique à l'angle a ici donc ces deux triangles là sont semblables donc je vais le noter ici donc le triangle ici bdc est semblable au triangle donc j'ai commencé par l'angle b ensuite je suis allé sur l'angle droit ici donc ce sera c'est ici pour mon autre triangle et ensuite à donc bdc est similaire au triangle bca et de la même manière vu que ces triangles là sont similaires on peut établir une relation entre les longueurs de ces triangles donc la relation elle est la suivante c'est bd sur bc sera égal à baisser sur b a donc de la même manière que tout à l'heure j'ai écrit le rapport de longueur bd surbaissé qui sera égal à baisser sur bea ici pareil que tout à l'heure on va simplifier l'écriture ici en remplaçant par les petites lettres que l'on a défini avant donc bd on sait que cette longueur là est égal à eux baissé on sait que c'est égal à b ici baisser donc on vient de le dire c'est égal à b et b à c notre hypothèse c'est donc pareil que tout à l'heure on va réécrire cette simplification donc ça nous fait me b est égal à baisser et ce qu'on a à la fin c'est des carrés est égal à eux c'est donc maintenant on va voir qu'est ce qui se passe lorsqu'on additionne ces deux relations donc je vais leur écrire ici donc d'un côté on a établi que à carey était égal à céder et on a établi que b carré était égal à eux c'est ici donc si on additionne ces deux équations donc on aa carré plus des carrés est égal à donc laisse moi juste refaire de à voilà est égal à céder plus haut c est ce qu on voit ici c'est qu'on peut factoriser ici par c'est donc c'est ce qu'on va faire donc on a toujours à carrer plus b carré est égale à celle des plus ici et des plus ceux ci on regarde dans notre figure on voit que des plus le est égal à c'est donc en fait ce qu'on a ici c'est qu'on a à carrer plus b carré est égal à ces carrés puisque l'art ici cette addition là est égal à c'est donc on aa carré plus becquart est égal à ces carrés qui est exactement la relation du théorème de pythagore qu'on a retrouvé ici est donc cette relation du théorème de pythagore nous dit que la somme des carrés des longueurs des plus petits côtés donc ici a et b est égal au carré de l'hypothénuse ici donc d'après le théorème de pythagore ce qu'on sait c'est que si on connaît les longueur de deux côtés du triangle on peut trouver la troisième longueurs grâce à cette relation et le théorème de pythagore est donc très utile en géométrie mais il sera aussi très utile en trigonométrie que tu apprendras un peu plus tard