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Somme des angles intérieurs d'un polygone

Méthode générale pour déterminer la somme des angles d'un polygone. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

bien on a déjà vu que la somme des angles l'intérieur d'un triangle fait 180 degrés donc si la mesure de cet angle est à la mesure de celui là est b et la mesure de celui ci et c'est tu sais que a + b + c est égal à 180 degrés mais que ce style lorsque tu as des polygones avec plus de trois côtés essayons avec un polygone à quatre côtés avec un quadrilatère on va le prendre irrégulier de façon à démontrer que quel que soit ce quadrilatère cela s'applique même si tu n'as pas d'angle droit de droites parallèles etc vu qu'on sait que la somme des angles d'un triangle fait 180 degrés essayons de diviser notre quadrilatère en deux triangles si tu dessines une droite comme ça tu as tes deux triangles donc si tu as un an ici b ici c'est ici tu sais que a + b + c égale 180 degrés et si tu as un angle x ici y ici les aides là tu sais que x + irak plus aide égale 180 degrés donc si tu veux avoir la mesure de la somme de tous les angles l'intérieur de ton polygone ça va te donner b plus z ce sont deux ans l'intérieur de ton polygone plus cet angle qui va être à +6 à +6 et tout cet angle plus tout cet angle qui va être c'est plus y c'est puisse y est tu cèdes jacques a + b + c égale 180 degrés a + b + c est 180 degrés et tu sais que z +6 plus y est égal à 180 degrés donc plus 180 et tout ceci est égal à 360 degrés en gros il te suffit de trouver en combien de triangle tu vas avoir à diviser ton polygone et ensuite tu multiplies par 180 degrés étant donné que chacun de ces triangles aura une somme d'angle de 180 degrés voyons un exemple particulier de plus et ensuite on essaiera de généraliser voyons combien de triangle peut-on faire rentrer dans le polygone suivant un pentagone irrégulier un gay 3 4 cinq côtés une fois de plus on peut dessiner plusieurs triangle distincts dans cette forme en voici un premier là et un second là donc on peut diviser ce pentagone en trois triangles qui ne se chevauchent pas voici le premier le deuxième et le troisième tu sais que la somme des angles de chacun de ces triangles va faire 180 degrés et tu sais aussi que la somme de tous les angles intérieur de tous ces triangles va te donner la somme des angles l'intérieur du pentagone ici tu as un des angles du pentagone ici aussi si tu additionne cet angle et cet angle tu auras cet angle du pentagone si tu additionne celui ci est celui situera ce grand angle là et enfin si tu prends la somme de celui-ci de celui-ci et de celui là tu obtiens tous étant de l'intérieur l'a donc si tu additionne tous les angles l'intérieur de tous les triangles tu obtiens bien la somme de tous les angles l'intérieur de ton pentagone donc dans ce cas tu as un deux trois triangles donc 3 x 180 degrés est et yala quoi à 542 gray et seal ont maintenant que généralisée tout ça pour ce faire revenons au premier polygone que l'on a étudié pour obtenir nos deux triangles ici on a utilisé les quatre côtés de notre quadrilatère dans notre pentagone on a dû utiliser quatre des cinq côtés donc quatre côtés donne deux triangles et il semblerait que pour chaque côté supplémentaires on obtient un autre triangle vérifions cela avec un hexagone donc voici un deux trois quatre cinq six côtés et là tu as entre avec ces deux côtés un autre triangle avec ses deux côtés et on dirait que tu peux ensuite un triangle avec chacun des côtés restant avec ce côté et un autre avec ce côté q que si tu as côté si tu as un polygone as côté et on a déjà vu pour quatre côtés cinq côtés ou si côté donc pour s supérieur à quatre côtés voyons combien de triangle distincts on peut faire rentrer dans notre polygone est ce côté et comme ça on n'aura plus qu'à multiplier ce nombre par 180 degrés pour savoir quelle est la somme des ans l'intérieur de ce polygone essayons donc d'exprimer ce nombre de triangle en fonction du nombre de côté déjà on a quatre côtés utilisé pour former deux triangles donc on a deux côtés comme ça et deux autre côté comme ça pour l'instant on va se concentrer sur eux sans se soucier de ce qui se passe par là donc avec ses côtés on peut dessiner un triangle comme ça et un autre comme ça 4 était utilisé pour deux triangles et quel que soit ce qui se passe ici il semblerait que l'on ait un triangle park côté suppléments terre un triangle avec ce côté intrigue avec ce côté l'un triangle avec ce côté un triangle avec ce côté et enfin un triangle avec ce côté donc par exemple cette figure bizarroïde que tu as là avec 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 côté c'est un déca gones et dans ceux des cagoules quatre côtés ont été utilisés pour former deux triangles et depuis les six autres t on est en mesure de former un deux trois quatre cinq à temps laisse-moi vérifier que l'on a bien compté les côtés de 3 4 5 6 7 8 9 dix côté oui c'est bon j'ai dû rater quelque chose ah oui j'ai oublié de tracer un des segments ici et du coup j'ai mon triangle manquants j'ai mes deux triangles du départ et les six autres triangles provenant des six côtés restants hui triangle en tout si l'on revient à notre fonds ça nous donne le nombre de triangle que l'on va noter comme ça va être égal à de plus on a déjà utilisé quatre côtés donc tu as un triangle par côté qui te reste soit s ou moins quatre côtés qui te reste donc le nombre de triangle va être égal à 2 plus s - 4 c'est à dire est ce moins deux donc si tu as un polygone as côté tu peux créer s - de triangle distincts à l'intérieur sachant cela la somme des angles intérieur de ce polygone va être égale as moins deux fois 180 donc si on te donne un polygone à 100 de côté c'est à dire s égale sont deux côtés tu sais que ses angles intérieure va être égal à 100 2 - 2 c'est à dire 100 x 180 qui est égal à 180 avec 2 0 de plus à la fin c'est à dire 18 mille degrés pour un polygone à 100 de côté