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Le flocon de Koch - une figure fractale

Une figure ayant un périmètre infini mais une aire finie. Créé par Sal Khan.

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur tristbo
    Bonjour
    Quel est la logiciel que vous utilisez pour ces vidéo ?
    Merci d'avance
    Tritbo
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
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Transcription de la vidéo

alors le triangle qui est dessiné ici c'est un triangle équilatéral les trois côtés ont la même longueur est ce que je vais faire dans cette vidéo c'est construire une figure à partir de ce triangle équilatéral une figure différentes mais de manière bien particulière en fait je vais achever prendre chaque côté le diviser en trois segments de même longueur voilà je vais faire je vais le faire ici sur ce premier côté ici je vais donc trois segments de même longueur je vais prendre le segment qui est au milieu et je vais tracé à partir de ce segment une un triangle équilatéral voilà à peu près bon c'est pas très joli c'est une figure à main levée comme toujours c'est approximatif et pas très joli je vais faire la même chose maintenant sur ce deuxième côté voilà et puis je vais faire aussi sur le côté restant en bas la voilà bon je vais voilà et j'obtiens une forme qui ressemble un petit peu à une étoile en une étoile de david et si je veux je peux très bien continuer faire ça sur refaire la même chose sur chacun des côtés maintenant parce qu'il ya plus de côté qu'avant cette figure il ya ce côté ce côté ce côté ce côté ce côté voilà donc je peux refaire la même la même chose que ce que j'ai fait tout à l'heure sur chacun des côtés alors je vais du coup prendre ce côté-ci cayla je vais le diviser en trois parties égales voilà je vais tracer un rectangle equi un triangle équilatéral pardon sur ce à partir du segment qui est au milieu je vais faire la même chose ici voilà la même chose sur ce côté qui est là bon je vais faire un peu vite je pense que tu dois comprendre le principe voilà hop je vais faire du coup la même chose ici voilà là ça va me donner quelque chose comme ça ici voilà voilà je fais ça donc sur tous les côtés de ma figure je pense que là on commence à voir ce que ça donne il me reste celui ci voilà et puis donc là j'ai obtenu une autre figure avec encore plus de côté et puis je peux ainsi je veux continuer refaire la même chose sur chacun des côtés donc je vais le faire là je vais dessiner un autre triangle équilatéral je fais de plus en plus vite parce que ces petits on y voit plus grand chose mais bon je pense que tu as compris principe voilà hop là j'en ai oublié 1 voilà donc à chaque fois je prends le côté jeu le divise en trois parties et à partir du segment qui est au milieu je construis un triangle équilatéral exactement comme j'ai fait à la première étape que j'avais bien construite donc là là je le fais sur chaque côté voilà je le fais très vite c'est de plus en plus mal fait mais c'est le principe qui est important voilà voilà donc là j'ai obtenu une autre figure et je pourrais continuer à tracer à diviser chaque côté de cette figure en trois parties et à construire un triangle et goutta équilatéral à partir de du segment du milieu et continuer à chaque fois complexifier un petit peu cette figure est cette figure là que j'ai donc j'ai dessiné le début un ça ça peut être une figure connue en géométrie et elle s'appelle le flocon de coqs flocons de coke je suis pas sûr de bien prononcer ce nom là et cette figure elle a été introduite pour la première fois par un mathématicien suédois du 19e siècle que voici et qui s'appelle nils fabián heinz von coq je sais pas exactement comment on prononce mais voilà c'est ce mathématicien suédois était le premier à introduire cette figure si avec cette manière de constat de la construire et en fait c'est la première figure fractale le premier fractales qui a été découvert donc ça c'est ce qu'on appelle une figure fractale fractale on appelle ça comme ça aujourd'hui alors ce qu'on appelle un fractales aujourd'hui c'est une free d'une figure qui se ressemblent quelle que soit l'échelle à laquelle on la regarde si par exemple je vais zoomer sur cette partie là je les regarde je vais agrandir cette partie là donc je vais avoir quelque chose qui va ressembler à ça voilà ça c'est la partie que j'ai zoomé maintenant si je zoome là dessus sur cette partie là ici je vais me retrouver avec la même chose je vais me retrouver avec un morceau qui va ressemble exactement à celui que j'avais ici donc c'est ce qu'ont c'est ça qu'on appelle une figure fractale enfin fractale c est une figure qui se ressemblent quelle que soit l'échelle en lagat laquelle hanrahan la regarde c'est à dire que si on zoom zoom zoom on retrouvera toujours une figure à peu près équivalente alors la raison pour laquelle j'ai voulu en parler dans cette section de géométrie c'est que c'est cette figure là le flocon de coke il a un périmètre qui tend vers l'infini c'est à dire que si on imagine qu'on a dessiné cette figure là en faisant une infinité de d'étape et bien le périmètre de la figure qu'on obtient c'est un périmètre qui tend vers l'infini alors ça c'est intéressant et en fait j'ai on va le voir assez rapidement je peux pas donner une vraie démonstration mais va se rendre compte de ce que ça veut dire de pourquoi c'est comme ça alors si on prend un côté un côté ici quelle longueur s et que on le divise en 3 c'est ce qu'on fait c'est ce qu'on a fait ici on va diviser en trois parties voilà donc chaque partie elle mesure s / 3 puisqu'on a divisé en trois parties égales j'avais pas précisé que c'était trois parties égales mais c'est ce qu'on fait là on a divisé en trois parties égales donc le segment de longues heures s on peut le voir comme trois segments de longues heures s sur 3 mis bout-à-bout voilà et puis à partir du segment du milieu ici celui ci on va dessiner un triangle équilatéral voilà ça c'est exactement ce qu'on a fait à chaque étape sur chaque côté dans le faucon de coke alors là du coup chaque côté que j'ai dessiné en bleu il mesure également s sur trois puisque c'est puisque c'est un triangle équilatéral donc finalement la figure qu'on obtient ici c'est plus un segment de droite achever la dessiner en blanc pour bien avoir voilà donc cette figure la ligne brisée salon garde s'est plu s puisque maintenant on a un deux trois quatre côtés qui mesure tous s sur trois donc finalement la longueur de ce que de ceux de figure ici de cette ligne brisée c4 x est sur trois c'est-à-dire 4/3 de s4 tiers de s tout à l'heure on avait trois tiers de s puisqu'on avait trois segments de s sur trois est là maintenant on en a quatre donc ça qu'est ce que ça montre ça montre que si on a au départ une figure qu'un périmètre p 0 et qu'on fait les étapes qu'on a fait la première étape du coup ça va nous donner une figure qui a un périmètre de 4 tiers tous les côtés sont multipliées par quatre tiers donc le périmètre va être multiplié par quatre tiers aussi donc le périmètre après une étape ça va être 4/3 de des 0-4 tiers du périmètre précédent et puis le deuxième à la deuxième étape on va obtenir un périmètre p2 qui va être 4/3 du périmètre précédent 4,4 tiers de p1 voilà alors si on continue à faire ça et à la limite on va obtenir un périmètre qui va être que je vais y s'il devait noter paix infinie et bien ce périmètre c'est 4/3 multiplier à chaque fois on multiplie le périmètre précédent par quatre ter donc si on multiplie à une infinité de fois un nombre quelconque par 4/3 et bien finalement on obtient l'infini alors ça j'aurais voulu que c'est pas très rigoureux dans cette manière de l'écrire il aurait fallu pour être rigoureux utiliser utiliser le langage des limites mais bon là je veux juste donner l'idée l'idée c'est que à chaque fois on multiplie par quatre tiers le périmètre précédent donc si on fait ça une infinité de fois on obtient forcément une figure qui est un périmètre infinie voilà alors ça c'est une première chose qui est quand même vraiment étonnante donc c'est une figure avec un périmètre infinie mais alors il ya une autre chose qui est intéressante c'est que cette figure donc de périmètre infinie et bien elle a une mère finit par contre c'est ce qui veut dire que en fait je peux tracé jeu pourrait tracer une vue une forme autour mais le flocon de corps quel que soit le nombre d'itérations qu'on lui fait et resterai à l'intérieur de cette forme on va pas à démontrer sa de manière très précise mais on peut juste voir un peu ce qui se passe alors par exemple si je regarde ce qui se passe de ce côté là ici ce côté là sur ce côté ici je me place en ce sommet là qu'est le plus loin disons celui pour lequel on a pris le plus de place et puis je vais commencer alors j'ai je vais tracer ces triangles la voilà ensuite je vais tracé cela substrat cela là les petits mais en fait ce qui se passe on voit bien que on reste toujours dans les limites de cette de cette ligne bleue que j'ai tracé on n'a jamais la dépasser et ça se passera exactement la même manière si on regarde ce qui se passe sur ce côté là avec ce sommet ici donc on va avoir là une limite encore et puis ici si on se place ici on aura une limite qui sera comme ça par exemple et puis ici pareil une limite comme ça et là sur ce côté là on a cette limite la voilà donc là j'ai dessiné un hexagone enfin qui est une figure car s'inquiète un hexagone et qui limite vraiment de manière très claire on voit bien ça limite le flocon deux corps à l'intérieur de cette zone du plan voilà et puis bon j'aurais pu faire une autre forme beaucoup plus bizarre par exemple une chose comme ça et dire que le flocon de corps restent à l'intérieur de la zone délimitée par cette forme bon pas la peine que fait que je fasse quelque chose d'aussi et régulier j'aurais pu faire par exemple un cercle voilà et et donc l'idée qui est intéressante c'est que le flocon de corps quel que soit le nombre d'itérations qu'on fait c'est à dire même si on fait une haie une infinité d'étape de construction ce flot de cette figure est bien l'air elle est toujours à l'intérieur de ce petit hexagone par exemple ou de cette forme de ce cercle j'ai dessiné en violet et puis c'est de ces deux figures l'hexagone et le cercle ce sont des figures qui ont une aire finit bien bien déterminé donc ça veut dire que le flocon de cork lui même il a une aire fini alors voilà c'est quand même deux choses assez intéressantes assez étonnante dans cette figure la première c'est que c'est un fractales que donc on peut zoomer autant qu'on veut on verra toujours à peu près la même chose et la deuxième c'est que c'est une figure qui a un périmètre infinie mais une aire fille quand même pas tout à fait banal alors évidemment tu peux dire et c'est ce qu'on se dit habituellement mais ça c'est quelque chose de très abstrait ça n'existe pas on rencontre pas une figure de ce genre là dans la nature n'a pas affaire à des figures de ce genre là dans le monde réel en fait s'il ya quand même des cas où on est amené à étudier des contours assez proche de celui ci de ce qu'on a étudié la avec cette figure par exemple imaginons qu'on veuille mesurer le périmètre d'une île dont par exemple de l'angleterre ou de madagascar ou de la corse afin de n'importe quel il alors je vais dessiner une île quelque chose comme ça voilà ça c'est une île qu'il ya une forme de ce genre là quand on la regarde d'assez loin et si je veux mesurer son périmètre mais en fait je vais remplacer cette les contours de l'île par des traits droit donc voilà je vais dire que le périmètre c'est à peu près ça voilà donc je vais mesurer l'alger remplacer finalement le contour de l'île par une figure avec des lignes brisées je vais mesurer la longueur de chacun des côtés je vais faire la somme et je vais trouver une valeur à projets du périmètre bon mais c'est vrai que c'est pas très très précis donc si je veux être plus précis je peux remplacer sa part une ligne encore plus brisée que ça donc je peux par exemple faire quelque chose de ce genre là pour être plus proche du vrai contours de l'île et là je vais obtenir quand je vais mesurer là chacun des côtés de cette figure âgées obtenir une valeur approché meilleure que celle de tout à l'heure bon et ça pourrait on pourrait se dire que c'est satisfaisant mais en fait si jamais par exemple je vais zoomer cette partie là de la côte je vais regarder ça de beaucoup plus près je vais zoomer là dedans qu'est ce que je vais voir je vais pas voir une côte toute droite comme que les dessiner ici en fait je vais voir probablement quelque chose qui va être beaucoup plus brisé beaucoup plus qui va ressembler beaucoup plus ça a quelque chose comme ça avec des méandres donc évidemment là le ce que j'ai fait tout à l'heure pour mesurer ce périmètre c'est j'avais tracé juste une ligne comme ça effectivement là on voit bien que ça va plus être très satisfaisant donc ce qu'on va faire ses devoirs tracé quelque chose de beaucoup plus découpée par exemple comme ça voilà et donc là je vais pouvoir me dire bon là j'ai j'obtiens une un périmètre qui est quand même plus proche de ce qu'est réellement le périmètre de lille mais je peux toujours me dire la même chose c'est à dire que maintenant si je zoome sur cette partie là par exemple qu'est-ce que je vais voir je vais avoir le même problème que tout à l'heure puisque la cote en réalité là en zoom ans je vais plus voir quelque chose comme ça je vais voir quelque chose qui va être beaucoup plus déchiré encore une fois peut-être quelque chose comme ça et donc la la la la figure que j'ai dessiné qui était comme ça on voit bien qu'elle va plus être très satisfaisante donc je vais encore une fois être obligés de si je veux une valeur a plus précise je vais être obligé de de briser encore plus la ligne même approché encore plus du des contours faire quelque chose comme ça et puis voilà en fait je pourrais faire ça je pourrais continuer à faire ça à zoomer dans dans la côte et à chaque fois je me retrouvais dans la même situation à pouvoir continuer à approcher de mieux en mieux la côte elle même ça je pourrais le faire pratiquement une infinité de fois enfin pas tout à fait en fait si j'arriverai il faudrait que j'arrive jusqu'au niveau de l'atome jusqu'au niveau des atomes qui constitue la côte mais voilà on est là on voit bien que cette problématique d'aller mesurer le périmètre du nil ça se pourrait être la même chose avec un pays ou un continent et bien en fait on a un comportement un peu comme celui du flocon de corps un comportement un peu fractales et en fait on est dans le cas d'une figure qui a une ère fini l'ère de cette île ici et qui a un périmètre pratiquement infinies repas tout à fait puisqu'il ya là on a quand même cette limite de l'atome mais c'est quand même un périmètre qui est qui ressemble à un périmètre infinie