Loi des sinus et théorème d'Al-Khashi - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez compris et mémorisé.

La loi des sinus

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)

1 - Utiliser la loi des sinus

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer ACAC dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, ABsin(C^)=ACsin(B^)\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}=\dfrac{AC}{\sin(\widehat B)}. On obtient :
ABsin(C^)=ACsin(B^)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\widehat B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Exemple 2 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle A^\widehat A dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, BCsin(A^)=ABsin(C^)\dfrac{BC}{\sin(\widehat A)}=\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}. On obtient :
BCsin(A^)=ABsin(C^)11sin(A^)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A^)11sin(25)5=sin(A^)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\widehat A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\widehat A) \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A^=sin1(11sin(25)5)68,4\widehat A=\sin^{-1}\left(\dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}\right)\approx 68{,}4^\circ
Attention, ne pas oublier que si l'angle est obtus, sa mesure est la différence entre 180180^\circ et la valeur donnée par la calculatrice.
Exercice 1.1
BC=BC=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Donner sa longueur arrondie au dixième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Utiliser le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle B^\widehat B dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
AC2=AB2+BC22AB×BCcos(B^)AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC\cos(\widehat B)
On obtient :
52=102+622×10×6cos(B^)25=100+36120cos(B^)120cos(B^)=111cos(B^)=111120\begin{aligned} 5^2&=10^2+6^2-2×10×6\cos(\widehat B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\widehat B) \\\\ 120\cos(\widehat B)&=111 \\\\ \cos(\widehat B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
B^=cos1(111120)22,33\widehat B=\cos^{-1}\left(\dfrac{111}{120}\right)\approx 22{,}33^\circ

Exemple 2 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer ABAB dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
AB2=AC2+BC22AC×BCcos(C^)AB^2=AC^2+BC^2-2AC×BC\cos(\widehat C)
On obtient :
AB2=52+1622×5×16cos(61)AB2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} AB^2&=5^2+16^2-2×5×16\cos(61^\circ) \\\\ AB^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Exercice 2.1
A^=\widehat A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
\Large{^\circ}
Donner sa mesure arrondie au degré.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Des exercices concrets

Exercice 3.1
"Il n'en reste plus qu'un" dit Yann à son frère de sa cachette.
Mathis hoche la tête en signe d’acquiescement, en regardant le dernier robot ennemi.
"3434 degrés." indique Mathis, pour informer Yann de l'angle entre lui et le robot.
Yann marque cette valeur sur sa figure (voir ci-dessous) et fait un calcul. Après avoir réglé son canon laser sur la bonne distance, il se lève, vise, et tire.
Sur quelle distance Yann a-t-il réglé son canon laser ?
Ne pas arrondir les résultats intermédiaires. Arrondir la réponse au mètre.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
 m\text{ m}

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Chargement