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Cours : Géométrie > Chapitre 10 

Leçon 4: Les symétries axiales dans le plan repéré
Mathématiques
Géométrie
Les transformations
Les symétries axiales dans le plan repéré
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Appliquer une symétrie axiale dans le plan repéré en utilisant l'outil interactif

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Cette leçon vous permettra de vérifier si vous avez bien compris comment utiliser l'outil interactif "Symétrie axiale".

Rappel de la définition

La symétrie axiale d'axe (d), ou la symétrie par rapport à la droite (d), est la transformation dans laquelle l'image d'un point M est le point M′ tel que la droite (d) soit la perpendiculaire au segment [MM′] en son milieu. Le point M et son image M′ sont donc à la même distance de la droite (d).
Le transformé du triangle ABC par la symétrie axiale d'axe la droite en pointillés est le triangle bleu.
Un triangle et son image par une symétrie axiale sont représentés dans un repère orthonormé. L'axe horizontal x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. Le triangle est réfléchi sur la droite en pointillés qui va en diagonale du quadrant III au quadrant I en passant par l'origine. Le triangle a 3 sommets. Le point A a pour coordonnées (moins 3, 5), le point B a pour coordonnées (5, 9) et le point C a pour coordonnées (2, 4). Le point A prime a pour coordonnées (5, moins 3), le point B prime (9, 5), et le point C prime (4, 2).
Une symétrie axiale est une isométrie. Une figure et son image par une symétrie axiale sont donc égales, ou superposables.
Une vidéo sur les transformations.

Appliquer une symétrie axiale à une figure donnée dans un repère

L'équation de l'axe de symétrie est le plus souvent sous la forme y=mx+b.
L'objectif est qu'un point quelconque de la figure et son image soient à la même distance de l'axe de la symétrie.
Exemple :
Soit à construire l'image du segment [PQ] dans la symétrie par rapport à la droite d'équation y=x. Avec l'outil interactif c'est tout simple, mais comment procède-t-on sur une feuille de papier ?
La première chose à faire est de tracer la droite d'équation y=x. Son coefficient directeur est 1 et son ordonnée à l'origine est 0.
Un segment est représenté dans un repère orthonormé. L'axe horizontal x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. Il y a une droite en pointillés qui va en diagonale du quadrant III au quadrant I en passant par l'origine. Le segment a pour extrémités le point P qui a pour coordonnées (moins 7, moins 3) et le point Q qui a pour coordonnées (3, 1).
L'image du segment [PQ] est un segment. Il suffit donc de construire les images de ses extrémités P et Q. L'image de P est le point de la perpendiculaire à la droite d'équation y=x passant par P qui est à la même distance de cette droite que P. De même, l'image de Q est le point de la perpendiculaire à la droite d'équation y=x passant par Q qui est à la même distance de cette droite que Q.
Il est intéressant de remarquer et de retenir que dans le cas particulier où l'axe de la symétrie est la droite d'équation y=x, l'image du point de coordonnées (a ;b) est le point de coordonnées (b ;a).
Un segment est représenté dans un repère orthonormé. L'axe horizontal x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. Il y a une droite en pointillés qui va en diagonale du quadrant III au quadrant I en passant par l'origine. Le segment a pour extrémités le point P qui a pour coordonnées (moins 7, moins 3) et le point Q qui a pour coordonnées (3, 1). Un point plein est placé à (moins 3, moins 7). Il y a un segment en pointillés qui relie le point Q et le point de coordonnées (1,3).
L'image du segment [PQ] dans la symétrie par rapport à la droite d'équation y=x est le segment bleu ci-dessous.
Un segment et son image par une symétrie axiale sont représentés dans un repère orthonormé. L'axe horizontal x va de moins 10 à 10 par graduation de 1. L'axe vertical y va de moins 10 à 10 par graduation de 1. Il y a une droite en pointillés qui va en diagonale du quadrant III au quadrant I en passant par l'origine. Le segment a pour extrémités le point P qui a pour coordonnées (moins 7, moins 3) et le point Q qui a pour coordonnées (3, 1). Le segment image a pour extrémités le point plein placé à (moins 3, moins 7) et le point de coordonnées (1,3).
La vidéo où est expliqué comment utiliser l'outil interactif Symétrie axiale.

À vous !

Exercice 1
Construire l'image du triangle ABC par la symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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