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L'image d'une figure par une rotation de centre l'origine et d'angle un multiple de 90°

Deux méthodes pour construire l'image d'une figure, tracée dans un repère, par une rotation de centre l'origine et dont l'angle est un multiple de 90°.

Introduction

Il s'agit dans cette leçon de découvrir les cas où il existe des méthodes simples pour construire l'image d'une figure par une rotation de centre l'origine du repère.
Ces cas sont ceux où la mesure de l'angle de la rotation est un multiple de 90.

Partie 1 - L'angle de la rotation est égal à 90 (si son sens est le sens direct) ou à 90 (si son sens est le sens indirect), ou à 180.

Un exemple

On cherche l'image A du point A(3 ;4) par la rotation de centre l'origine et d'angle 90 dans le sens direct.
Le sens direct est le sens inverse des aiguilles d'une montre, on fait un dessin :
A blank coordinate plane with a line segment where its endpoints are at the origin and a point at three, four labeled A. The point is rotated counter clockwise ninety degrees so that A prime is now in the second quadrant.
Il y a deux méthodes pour trouver les coordonnées de A.

1 - Méthode graphique

On peut tracer ce rectangle :
A coordinate plane with a rectangle with vertices at the origin, zero, four, three, zero, and three, four which is labeled A. The x- and y- axes scale by one.
La rotation d'angle 90 l'a fait basculer sur l'autre côté :
A coordinate plane with a pre image rectangle with vertices at the origin, zero, four, three, zero, and three, four which is labeled A. The x- and y- axes scale by one. The rectangle is rotated ninety degrees to form the image of a rectangle with vertices at the origin, zero, three, negative four, zero, and negative four, three which is labeled A prime.
On voit que l'image de A(3 ;4) par cette rotation est A(4 ;3).
On peut aussi commencer par écrire les coordonnées des images des sommets qui sont sur les axes -ce qui est plus facile- et en déduire ensuite les coordonnées de l'image de A :
Coordonnées du point(3 ;0)(0 ;4)(3 ;4)
Coordonnées de son image(0 ;3)(4 ;0)(4 ;3)

2 - Méthode algébrique

On sait maintenant que :
Pointabscisseordonnée
A34
A43
L'abscisse de A est égale à l'ordonnée de A. L'ordonnée de A est égale à l'opposé de l'abscisse de A.
Sur ce site, ceci est noté de cette façon :
R(0,0),90(x ;y)=(y ;x)
On démontre que quel que soit x et quel que soit y, l'image du point de coordonnées (x ;y) par la rotation de centre l'origine, d'un quart de tour dans le sens direct, est le point de coordonnées (y ;x).
A coordinate plane with three pre image points at eight, negative one, negative three, four, and negative three, negative six. They are rotated counter clockwise to form the image points at one, eight, negative four, negative three, and six, negative three respectively. The x- and y- axes scale by one.
On démontre des formules analogues dans le cas d'une rotation de centre l'origine et de 180 dans un sens ou dans l'autre, et dans le cas d'une rotation de centre l'origine et de 90 dans le sens indirect. Quel que soit x et quel que soit y,
R(0,0),180(x ;y)=(x ;y)
R(0,0),90(x ;y)=(y ;x)
Ces formules permettent de calculer les coordonnées de l'image d'un point donné.

A vous !

Exercice 1

Placer l'image du point B(7 ;3) par la rotation de centre l'origine et d'angle 90 dans le sens indirect.

Exercice 2

Placer l'image du point C(5 ;6) par la rotation de centre l'origine et d'angle 180 dans le sens direct.

Quelle est la meilleure méthode ?

Aucune n'est meilleure que l'autre. C'est une affaire de goût.
La méthode algébrique est immédiate, mais il faut apprendre les formules. Dans la méthode géométrique, il n'y a pas de formules à retenir, mais elle demande plus de temps.

Partie 2 - L'angle de la rotation est un multiple de 90

Un exemple

On cherche l'image D du point D(5 ;4) par la rotation de centre l'origine et d'angle 270 dans le sens direct.

Réponse

Pivoter de 270, c'est pivoter trois de suite de 90. On peut appliquer la méthode graphique en appliquant trois fois de suite une rotation de 90 dans le sens direct au rectangle :
A coordinate plane with a pre image rectangle with vertices at the origin, zero, four, negative five, zero, and negative five, four which is labeled D. The x- and y- axes scale by one. The rectangle is rotated ninety degrees to form the image of a rectangle with vertices at the origin, zero, negative five, negative four, zero, and negative four, negative five. The rectangle is rotated ninety degrees again to form the image of a rectangle with vertices at the origin, zero, negative four, five, zero, and five, negative four. The rectangle is rotated a third time ninety degrees to form the image of a rectangle with vertices at the origin, zero, five, four, zero, and four, five which is labeled D prime.
Mais l'image d'un point par une rotation de 270 dans le sens direct est la même que son image par une rotation de 90 dans le sens indirect :
A coordinate plane with a pre image rectangle with vertices at the origin, zero, four, negative five, zero, and negative five, four which is labeled D. The x- and y- axes scale by one. The rectangle is rotated ninety degrees clockwise to form the image of a rectangle with vertices at the origin, zero, five, four, zero, and four, five which is labeled D prime.
Donc on peut utiliser la formule : R(0,0),90(x ;y)=(y ;x)
R(0,0),270(5 ;4)=(4 ;5)

Un autre exemple

On cherche l'image du point de coordonnées (5 ;4) par la rotation de centre l'origine et d'angle 810 dans le sens direct.

Réponse

810=2×360+90, donc l'image d'un point par une rotation de 810 dans un certain sens est la même que son image par deux rotations successives de 360 suivies d'une rotation de 90 dans le même sens.
L'image d'un point par une rotation de 360 est le point lui-même.
Donc l'image d'un point par une rotation de 810 est la même que celle de ce point par une rotation de 90. On peut utiliser la formule : R(0,0),90(x ;y)=(y ;x) :
R(0,0),810(9 ;7)=(7 ;9)

A vous !

Exercice 1

Placer l'image du point E(8 ;6) par la rotation de centre l'origine et d'angle 270 dans le sens indirect.

Exercice 2

L'image d'un point par la rotation R(0,0),990 est la même que son image par la rotation :
Choisissez une seule réponse :

Partie 3 : Le cas des figures

Un exemple

Comment construire l'image du quadrilatère DEFG par la rotation R(0,0),270 ?
A cooordinate plane with a quadrilateral with vertices D at five, five, E at seven, six, F at eight, negative two, and G at two, negative two. The x- and y- axes scale by one.

Réponse

Il suffit de placer les images de chacun de ses sommets, puis de les joindre.
A cooordinate plane with a pre image quadrilateral with vertices D at five, five, E at seven, six, F at eight, negative two, and G at two, negative two. The x- and y- axes scale by one. It is rotated two hundred seventy degrees counter clockwise to form the image of the quadrilateral with vertices D prime at five, negative five, E prime at six, negative seven, F prime at negative two, negative eight, and G prime at negative two, negative two.

A vous !

Construire l'image du triangle HIJpar la rotation R(0,0),90.

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