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Définir ce qu'est une rotation

Un dialogue entre un professeur et un élève
Voici un dialogue entre un professeur et un élève. L'objectif est de définir ce qu'est une rotation.
Le professeur :
Définir ce qu'est une rotation c'est dire comment trouver le transformé d'un point donné par une rotation.
Soit la rotation de centre P et d'angle de mesure θ. Comment trouver l'image d'un point A par cette rotation ?
L'élève :
Ce n'est pas possible puisque l'on ne sait rien du point A.
Le professeur :
On peut essayer de donner une règle générale.
L'élève :
Par exemple, on peut dire que si le point A est situé à droite du point P, alors son image est quelque part au-dessus de P, mais tout dépend de θ.
Le professeur :
Plus précisément, en regardant cette figure :
on peut dire que si B est l'image de A alors la mesure de l'angle de côtés [PA) et [PB) est θ.
L'élève :
Je suis d'accord.
Le professeur :
Attention, y a-t-il un seul angle APB^ de mesure θ?
L'élève :
Non ! il y en a deux :
Le professeur :
Exact, donc il faut préciser si la rotation est dans le sens direct, c'est-à-dire dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, ou dans le sens indirect, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre.
Par convention, si B est l'image de A dans la rotation de centre P et d'angle de mesure θ dans le sens direct, alors on écrit que la mesure de l'angle APB^ est θ.
et si B est l'image de A dans la rotation de centre P et d'angle de mesure θ dans le sens indirect, alors on écrit que sa mesure est θ.
L'élève :
Et donc ainsi, on a parfaitement décrit quelle est l'image d'un point A dans une rotation de centre P et d'angle donné.
Le professeur :
Attention, est-il bien certain que l'image du point A est parfaitement définie ?
Existe-t-il un seul point B pour lequel la mesure de l'angle de côtés [PA) et [PB) est θ (ou θ).
L'élève :
Non ! Pour tout point B de la demi-droite ci-dessous, la mesure de l'angle de côtés [PA) et [PB) est θ
Le professeur :
Exact ! Donc comment faire ?
L'élève :
Il faut dire : B est le point tel que la mesure de l'angle de côtés [PA) et [PB) est θ (ou θ), ET tel que PA=PB.
Le professeur :
Exact !
L'image d'un point A dans la rotation de centre P et d'angle de mesure θ dans le sens direct est le point B tel que PA=PB et tel que la mesure de l'angle APB^ est θ.
L'élève :
J'ai compris.
Le professeur :
En bonus voici une autre façon de définir une rotation.
L'image d'un point A dans la rotation de centre P et d'angle de mesure θ dans le sens direct est le point B situé sur le cercle de centre P passant par A, et tel que la mesure de l'angle APB^ est θ.
L'élève :
C'est normal puisque les points d'un cercle sont tous à égale distance du centre du cercle.
Le professeur :
Dans la première définition, on utilise des segments de même longueur et dont l'une des extrémités est P, et dans la deuxième, on utilise un cercle de centre P.
L'élève :
Avons-nous réussi à définir ce qu'est une rotation ?
Le professeur :
Sans aucun doute !

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