Démonstration - les hauteurs d'un triangle sont concourantes

donc ce que je vais te montrer dans cette vidéo c'est que pour n'importe quel triangle et bien ce triangle là sera un triangle médian d'un plus grand triangle alors c'est quoi un triangle médian est bien un triangle médian c'est un triangle dont les semelles sont situés au milieu en fait des côtés d'un plus grand prix donc on va montrer ça et pour montrer sage et commencer par te dessiner un petit triangle ici et là ce qu'on va faire c'est qu'on va dessiner la parallèle à ce côté ici là que j'ai marqué en verre mais qui passe par le sommet opposé là donc on va dessiner cette parallèle là donc c'est la droite qui fait à peu près ça voilà donc ça c'est la parallèle c'est la parallèle à ce côté et qu'est-ce qu'on sépare construction et bien on sait que l'angle ici sera égal à l'angle ici puisque ces deux angles là sont des angles alterne interne puisque les deux les deux droites ici sont parallèles et on va pouvoir déduire la même chose pour les angles de l'autre côté c'est à dire que cet angle là va être égal à 7 ans glisse y voilà et donc ça on va faire la même chose en fait pour nos autres côté du triangle c'est à dire que si je prends par exemple ce côté là et bien deux la même manière je vais alors je vais le remarquer un peu plus foncée pour qu'on voit mieux voilà donc de la même manière et bien je vais dessiner la parallèle à ce côté mais qui passe donc par le sommet opposé donc on va dessiner cette parallèle là donc c'est à peu près cette droite ici en bleu et on va en déduire aussi des choses intéressantes pour pour cette droite là c'est à dire que ici on voit que et bien cette droite envers la est une droite c'est quand de ces deux droites parallèles en bleu donc qu'est ce que ça veut dire pour l'angle rouge ici ça veut dire qu'on le retrouve ici voile ensuite et bien qu'est ce qu'on peut voir dans cette danse est figurent aussi également c'est que de la même manière on a aussi des angles alterne interne donc si ça c'est la droite c'est quand de mes deux droites parallèles en bleu donc 7,7 ce segment jaune ici et bien cet angle ici voilà et bien c'est le même que celui ci voilà donc maintenant eh bien on va faire ça pour notre troisième droite donc je vais la marque et cette fois et bien je vais y rester en jaune donc ma troisième pardon mon troisième côté ici donc je vais dessiner la droite parallèle à ce côté qui passent par ce sommet opposé donc je dessine cette droite là donc cette droite là c'est à peu près ça voilà et qu'est ce que je peux en déduire dans cette droite là pour les angles et bien pour les angles je peux faire la même chose ici en remarquant qu' en fait cette droite bleus là est une droite c'est quand de mes deux droites parallèles en jaune donc le résultat c'est que cet angle là sera un angle vers aussi ce que je peux voir aussi c'est que pareille la droite envers ici est une droite c'est quand de mes deux droites en jaune donc en fait on a un angle bleus ici qui est un angle donc correspondant ce que tu vois et on peut faire le même raisonnement ici en fait à nouveau pour l'angle vert ici donc c'est à dire que ici on aura de nouveau un angle vert et maintenant on voit pour les angles rouge que c'est la même chose de ce côté là donc on a deux droites parallèles et une droite c'est quand donc on retrouve l'autre angle rouge ici et finalement on va avoir un dernier angle bleus ici avec le même argument donc voilà donc ici on a formé avec c'est quand cette construction là on a formé quatre petits triangles et ce qu'on voit en fait c'est que ces quatre petits triangles de fonds semblables puisqu'ils ont tous les mêmes angles tu vois bien qu'ils ont tous les trois couleurs des angles que j'ai proposé en plus de ça et bien en fait on peut voir c'est que ces triangles là en plus d'être semblables ils sont isométrique donc regarde avec moi si on compare ce petit triangle ici là et ce triangle là au milieu donc mon premier trio basque on peut voir c'est que en fait ces deux triangles là ils ont un côté commun d'accord qui est le côté le côté bleu ici et ils ont aussi deux angles commun c'est-à-dire qu'ils ont tous les deux ici le côté vert et le côté rouge qui encadre en fait le côté bleu et donc ça eh bien c'est un argument suffisant pour dire que eh bien ces deux triangles lasson isométrique et donc qu'est ce que ça veut dire que ces deux triangles la soie isométrique et bien ça veut dire que et bien le côté vert ici va être égal aux côtés vers là et que le côté jaune ici va être égal au côté jaune ici et en fait on va pouvoir appliquer cet argument là à tous les autres triangles c'est à dire qu'on va pouvoir regarder par exemple ce triangle là au milieu avec le triangle de droite ici et voir qu'ils ont deux angles identiques qui encadrent un côté commun et on va pour conclure qu'ils sont tous isométrique donc ce que ça nous fait c'est qu'en fait tout les longueurs de couleur verte ici sont de la même longueur d'onde je vais le marquer donc ça c'est aussi de la même longueur que celle ci est celle ci toutes les longueurs jaunes sont aussi de la même mon gars donc ça c'est la même chose qu'ici et toutes les longueurs bleus sont aussi de la même longueur d'onde ça nous donne ça voilà donc ces bas c'est super intéressant parce que là on va voir qu'on a déjà démontré ce qu'on voulait donc je vais nommer le triangle pour que ce soit plus facile à te décrire après donc ici je vais nommer tous les sommets et les intersections alors b acf eu des et voilà donc on a commencé comment eh bien on a commencé par dire qu'avec n'importe quel triangle donc ici c'était le triangle des af eh bien on pouvait dire que c'était un triangle médian d'un plus grand triangle donc ici on a dessiné un plus grand triangle est ce qu'on voit c'est que chacun des sommets de montres angle initiale des af est maintenant au mieux en fait de chacun des côtés de ceux plus grand triomphe donc en fait on a exactement construit ça on a construit un triangle autour de mon triangle initial tel que ce triangle initiale soit médian donc je vais marquer là donc en même temps on a commencé donc avec un triangle des af et on a construit on peut construire pour n'importe quel triangle donc construire un triangle cette fois alors c'est le triangle bce donc un triangle bce d'accord tel que tel que le triangle d à f et bien triangle des af triangle médian donc médian de et bien du triangle du triangle bce voilà donc ça c'est intéressant mais qu'est-ce qu'on en fait et bien en fait avec ça on va pouvoir montrer que les auteurs d'un triangle scoop en un même temps pour comprendre ça eh bien je vais te dessiner une des auteures du triangle des f donc on va dessiner une hauteur on va dessiner la hauteur issus de f et qui va donc coupé perpendiculairement dea ici voilà donc ça c'est ma hauteur et en fait qu'est ce que c'est que cette hauteur là et bien si je regarde pour le triangle bce cette droite là en fait elle va couper le côté eux c'est perpendiculairement puisque les droites des a et e c sont parallèles d'accord mais aussi on sait que eh bien elle va couper eux c'est en son milieu et ça qu'est ce que ça veut dire eh bien ça veut dire que cette droite là en rouge et bien c'est la médiatrice du côté eux c'est dans le triangle bce est en fait on va pouvoir avoir ce raisonnement pour toutes les autres auteurs de ce triangle donc par exemple je vais en dessiner autre ici toujours en rouge donc je vais dessiner la hauteur issus de d donc c'est cette droite là est ce que je vais pouvoir dire eh bien c'est de la même manière qu'ils coupent b c perpendiculairement puisque ben af sont parallèles et aussi qu' elle va couper behe en son milieu puisque par construction c'est ce qu'on a trouvé ici donc en fait cette droite là ça est aussi la médiatrice de behe donc du triangle et on sait en fait que les médiatrices dans un triangle se coupe en un même point et comme les médiatrices ici de mon plus grand triangle bce sont confondus avec les hauteurs de mon triangle d à f et bien je peux dire que donc les auteurs se coupe en un même point donc pour être vraiment convaincu de ça je dessine et la troisième auteur donc la hauteur issus de à dans mon triangle des af donc voilà à peu près et en fait c'est pas tout à fait correcte sur cette figure mais c'est ce qui arrive en vrai cette hauteur là sera aussi donc la troisième médiatrice de mon triangle bce et donc on voit que elle se coupe en un même point ici