Une autre propriété des médianes d'un triangle

donc dans la vidéo précédente je t'ai expliqué ce que c'était une médiane et j'ai revu deux propriétés importantes des médianes dans les trains mais on n'a pas démontré ses propriétés là et c'est ce qu'on va faire dans cette vidéo donc premièrement je vais te faire un rappel de ce que c'est que les médias donc je vais dessiner un triangle quelconque voilà un triangle voilà donc c'est un triangle a b c a b c et je vais dessiner une médiane dans ce triangle donc la médiane c'est la droite issue et bien d' un des sommets du triangle et qui va couper le côté opposé en son milieu donc c'est à dire qu'ici je vais appeler le point d'intersection de la médiane avec le côté opposé le point m et je sais que à m va est égal à mc donc ça eh bien c'est la média est ce qu'on a vu dans la vidéo précédente c'est que ces médiane et bien les trois médiane d'un triangle se coupe en un point d'intersection qui est le centre de gravité qui est un point unique et que ce centre de gravité est bien est situé à deux tiers de la longueur de la médiane en partant et bien du sommet donc c'est à dire que le centre de gravité ici sera situé à peu près ici c'est à dire à deux tiers de bm est donc ce que je te disais c'est qu'on avait introduit ces deux propriétés là mais qu'on ne les avait pas démontré ici ce qu'on va faire c'est bien tout simplement les des montres et pour ça on va utiliser une propriété que tu connais déjà c'est à dire on va juste utiliser le fait que l'air d'un triangle dont claire et bien d'un triangle ce soit un demi de sa base par la hauteur et bien ici dans le triangle abc qu'est ce que fait la médiane bm et bien le me coupe ce triangle en deux triangles triangle abm et le triangle cbm et donc on va calculer les airs de ces triangles l'ère du triangle abm qu'est ce que c'est et bien si je dis la hauteur issue 2b ici c'est à dire la droite qui va couper assez perpendiculairement j'obtiens cette droite là en pointillés et je vais appeler cet auteur la petite tâche donc ici qu'est ce que c'est que l'air de abm et bien l'air de abm donc je vais prendre une autre couleur je prends du rouge l'air de à bmc est égal à un demi 1/2 de la hauteur x la base ici qui est am a donc maintenant si je calcule l'ère du triangle cbm et bien la hauteur du triangle cbm issus de b ça va être ici petite hache comme pour et bien abm donc les triangles abm et cbm rond la même hauteur issus de béquilles et petite hache donc ici tu pourrais est étonné que petite hache tombe à l'extérieur donc la hauteur tombe à l'extérieur du triangle cbm mais en fait et bien c'est une situation qui est tout à fait classique quand on a un angle ici quand on a un angle qui et obtus c'est à dire supérieurs à 90 degrés donc et bien pour l'air de cbm et bien l'air de cbm qu'est ce que ça va être ça va être un demi deux petits tâche puisque ces deux triangles on l'a même auteur donc petite hache fois la base qui est mc donc fois m c mais ce qu'on a dit tout à l'heure c'est que bm était la médiane du triangle a baissé et que donc à m est égal à mc donc 6 am est égal à mc ici ça veut dire que l'ère de abm est égal à l'air de cb donc en règle générale qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si j'ai un triangle quelconque a baissé et que je trace une de ces médiane et bien cette médiane là va me séparer ce triangle a baissé en deux triangles et et ses deux triangles et bien auront la même heure donc maintenant qu'on a fait ce petit rappel eh bien on va pouvoir démontrer les deux propriétés des médianes et donc pour ça ce que je vais faire c'est que je vais commencer par des six né un triangle quelconque donc un triangle quelconque ici donc je vais le faire assez gros parce qu'on aura plein de dessins faire par la suite dessus donc voilà un triangle donc c'est un triangle a b c et je vais dessiner deux médiane dans ce triangle je vais dessiner la médiane issue de a ici qui va donc coupé décès en son milieu un point que je vais nommer m et je vais tracé la médiane une autre médiane issue de ces ici et je vais appeler le point d'intersection le point n est ce que je vais essayer de montrer ici c'est que si je trace la droite qui part de béhé qui passe par le point d'intersection de mes deux médiane et bien cette droite là en rouge sera une médiane est également donc si j'appelle ici p le point d'intersection de cette droite en rouge avec la droite a c'est ce que je veux montrer ici c'est que ap est égal à pc en d'autres termes ou oui si bp bien la médiane aussi du triangle abc donc je vais commencer par mettre un petit peu des notations sur ce triangle là donc on sait que à m -cn sont des médias ce qui veut dire que ici et bien bm va est égal à mc donc bm va est égal à mc et que pour la médialle cn et bien à n va être égal à nber donc à n est égal à np hélas comme tu peux voir et bien ces trois droites là ont découpé le triangle a baissé en six petits triangles donc tu vois un ici ici ici et c'est en six petits triangles je vais appeler les airs de ces petits triangles a b c d e et f donc ça est bien ce que j'ai mis en vers ce sont les verts des triangles des petits triangles donc je vais dire ici que et bien l'intersection de ces trois doigts atlas et le point haut il ya une chose que je peux voir c'est que la droite à m donc je sais que c'est la médiane du triangle à baisser mais je peux voir aussi que c'est là médiane du triangle au baisser puisque et bien elle passe par le sommet au heiva coupé besset qui est le côté opposé en son milieu donc qu'est-ce que ça veut dire eh bien si j'applique ce que j'ai juste vu auparavant une médiane dans un triangle coupe ce triangle en deux triangles d'air identique de ça qu'est-ce que j'en déduis et bien j'en déduis que des est égale à e donc ici et bien c'est un e aussi c'est à dire que l'ère de ob m est égal à l'air de om c'est donc r2o bm est égal à r2 omc c'est exactement ça et donc je peux voir exactement la même chose pour un autre triangle c'est à dire le triangle à bo ou aux n va être aussi la médiane de ce triangle là et de là je vais en pouvoir en déduire que et bien b est égal à c en d'autres termes l'air de hoa n est égal à l'air de hoàn b au n b et donc b est égal à c'est donc ici c'est un petit c'est aussi donc j'essaie deux égalités suivante maintenant qu'est ce que je peux dire aussi eh ben je peux appliquer ce que j'ai vu auparavant sur le triangle abc et bien si je regarde le triangle abc qu'est ce que je vois je vois qu'il ya une médiane am qui coupent donc abaissé en deux triangles et en deux triangles d'air identique donc ce triangle la abm va avoir la mémère que le triangle amc et donc ça qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que l'ère de à bmc 1/2 de l'air totale du triangle abc c'est toujours la même propriété qu'on a appliqué ici sur le triangle a baissé et on peut faire la même chose en fait pour l'autre médiane la médiane cn en remarquant que et bien l'air de bnc dont clair de baie c'est le triangle que je marque ici en bleu va être égal à l'air de amc et donc r2 air de bnc de la même manière ça va être égal à donc la moitié de l'ère du grand triangle a b c est là qu est ce que je vois et bien j'ai deux équations intéressant puisque d'un côté on me dit que l'ère de abm est égal à un demi de l'air de abc et j'ai l'air de bmc qui est égal à un demi de l'air de abc donc j'en déduis que l'ère de à bn à bm est égal à l'air de bnc bnc et si je traduis césaire là en fonction des airs a b c d e f que j'ai défini des petits triangles et bien je vois que l'air ici du triangle abm en rose c'est c'est plus c'est plus eux c'est à dire deux c'est plus eux et l'air de bnc en bleu foncé ici c'est c'est plus eux plus eu donc c'est à dire c'est ses +2 donc ça qu'est ce que ces deux c'est plus eux est égal à ses +2 et bien si je simplifie ici par eux et ici par c j'en déduis que c est égale à e donc si c est égale à e et bien en fait les airs de ses quatre petits triangles là que je vais marquer en verre et bien sont identiques donc maintenant je vais juste nettoyées un peu pour qu'on ait un peu plus de place et bien pour la suite voilà j'ai presque facile c'est ici c'est pas grave voilà donc alors je viens juste remettre vite fait le sait ici et donc donc maintenant si on considère le triangle que j'ai mis en bleu ici c'est à dire le triangle bnc qu'est ce qu'on voit eh bien on voit qu'il est composé de trois petits triangles d'air identique et on sait en fait que je vais m en verre que l'ère de bo c est bien ces deux fois l'air de bno d'accord donc sa saveur découle tout simplement du fait que et bien les triant que j'ai mis en vert ont les mêmes airs c'est à dire que l'ère de b o c est égale à deux fois l'ère de b&n donc qu'est ce que c'est que de l'air est bien de ces deux triangles et bien si je dessine la hauteur issue devait donc b étant un des sommets commun à ces deux triangles et bien la hauteur et du sud b ce sera cette droite ici et cette droite ici et bien je vais l'appeler donc petite hache et je vois que cette hauteur là en fait et communaux triangle bo c est au triangle bmo donc en fait l'air du triangle bo c'est qu'est ce que c'est et bien c'est un demi 2 est bien la base qui est au c par la hauteur h qui est égale donc à deux fois l'air de benno qui est égal à un demi par la base n/o par la hauteur h donc ici si je simplifie par un demi et par h de chaque côté de l'équation est bien j'obtiens que oc est égal à 2 et no et ça et bien qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que le point haut est situé à deux tiers de la droite cn donc je vais le marquer donc ça veut dire que en fait c'est au est égale à deux tiers de ces haines et donc si j'applique le même raisonnement pour la médiane am je vais trouver que et bien à eau est égale à deux tiers de à m maintenant si j'applique ce raisonnement pour la 3è médiane du triangle que je n'ai pas dessiner ici mais qui est la médiane issue de baies et bien j'aurai b o qui sera égal à deux tiers 2/3 de baies et je vais appeler le point d'intersection de la médiane issue de b avec le segment assez je vais l'appeler donc en fait ce que j'ai ici comme égalité c'est que déjà le point haut je sais qu'il est situé à deux tiers de chacune des médianes en partant du sommet donc je viens de démontrer la deuxième propriété importante des médianes c'est à dire concernant la position du centre de gravité et ça eh bien en fait ça me dit autre chose ça me dit que ici le point haut non seulement est toujours situé à deux tiers de la médiane en partant du sommet mais que c'est ici on parle du même point haut pour tout les médias c'est à dire qu'on parle de leur point d'intersection donc en fait les trois droites qui se coupe à ce point là à ce point haut qui est situé à deux tiers de la médiane et bien ce sont les médianes du triangle a b c est donc au et leur centre de gravité et comme ici et bien la droite bp coupe les deux autres droite en lui au point haut et bien on peut en déduire que donc bp et la médiane ici du triangle a b c est donc qu est ce que ça veut dire ici que c'est la médiane du triangle a b c est bien ça va dire que l'air en fait du triangle ici des rats va être égal à l'ère du triangle d'air f ici et va être égale aussi à l'air de tous les autres petits triangles l'a donc une des propriétés conséquente de cette démonstration c'est que les trois médiane d'un triangle est bien vont couper ce triangle là en six petits triangles d'air identique