Distance entre un point et une droite - Propriété de la bissectrice

donc dans cette vidéo et bien je vais te parler des bissectrice mais avant de commencer j'aimerais être sûr que tu comprennes bien ce que c'est que la distance entre un point et une droite donc j'ai un point par exemple ici à et j'ai une droite donc ici et en fait on voit bien ce que c'est que la distance entre un point et un autre point par exemple ici si j'ai un point b ben tu vois bien que la distance entre a et b et bien c'est cette distance ici mais entre à un point et une ligne et bien ça semble un peu plus compliqué parce que en fait la distance entre un point ligne ça pourrait être cette distance là où cette distance là ou encore cette distance ici et donc pour être sûr qu'on se comprenne bien quand on dit la distance entre un point une ligne on parle toujours de la distance la plus courte entre le point et la ligne est en fait la distance la plus courte c'est le segment perpendiculaire à la ligne qui passe par le point donc c'est ce segment ici qui est perpendiculaire à notre ligne donc si j'ai par exemple je peux l'appeler des voix et ça en fait c'est la distance la plus courte donc il te suffit de dessiner le segment qui va jusqu'à la droite et qui la coupe perpendiculairement voilà hélas intuitivement je vais te montrer pourquoi et bien ce segment là ça doit être la distance la plus courte du point al ahly et ça je vais te le montrer très intuitivement par exemple je vais prendre un autre point sur cette droite donc je vais prendre cette autre point là ici c'est par exemple et je vais tracé le segment entre a et c'est ici et en fait si tu regardes le triangle abc et bien tu vois que c'est un triangle rectangle et tu vois une chose supplémentaire c'est que tu vois quand fait à cesser l'hypoténuse de ce triangle puisque c'est le côté qui est à l'opposé de l'angle droit y est il ya une chose que tu sais sur l'hypoténuse d'un triangle c'est que l'hypothénuse c'est le plus long côté du triangle ici donc ça veut dire que là cette distance ici envers des sera toujours plus petit que l'hypoténuse ici assez et on peut faire ce raisonnement en fait en prenant n'importe quel point de ma droite ici en jaune donc voilà c'est fait pour te montrer que intuitivement la distance la plus courte d'un point à une droite c'est le segment perpendiculaire à cette droite et passant par le point considéré est donc maintenant qu'on a défini ce que c'était qu'une distance en train points et une droite eh bien on va parler des bissectrice et on va commencer par dessiner un angle donc voilà un angle et donc la bissectrice eh bien c'est la droite qui va couper cet angle en deux angles égaux donc ici ma bissectrice et bien je sais que cet angle là va être égal à cet angle ici donc je vais mettre un petit peu de peau de quelques points en couleurs ici pour qu'on sent qu'on s'y retrouve après donc ici c'est le point a ici on va appeler ce point ici b et on va appeler ce point ici c est ce point là d et donc ce que fait la bissectrice et qu'elle nous dit que l'angle bea des est égal à l'angle des as c'est ici est-ce qu'on va montrer c'est que si on prend n'importe quel point sur la bissectrice ici de l'angle donc ce point là par exemple le point e et bien il va être à égale distance du côté de la droite ici à b et de la droite ici assez et on va montrer aussi que si on prend n'importe quel point qui est à égale distance de une droite ab et d'une droite assez alors il doit être sur la bissectrice de l'anglais donc on va commencer par dessiner ici la distance 2e à la droite ab est donc ce qu'on a dit tout à l'heure c'était que la distance c'était le segment qui part 2e et qui va couper clairement la droite ab donc c'est cette distance ici et de la même manière pour la distance entre eux et la droite assez et bien c'est le segment qui part 2e et qui va couper assez perpendiculairement voilà est donc dans un premier temps et bien on va essayer de montrer que donc je vais mettre des autres petits points ici donc mettons un point m et un point n on va essayer de montrer que ef est égale à e n est déjà il ya une chose qu'on peut remarquer c'est que on a deux triangles rectangles on a deux triangles rectangles se sont à m eux et à eux n donc ce sont deux triangles rectangles est ce qu'on peut voir c'est qu'ils ont deux angles égaux donc l'angle droit bien sûr ici mais ils ont aussi l'angle b à des élans gltd assez puisque par construction j'ai dit que la bissectrice va séparer langlois en deux angles ego dont ils ont deux angles égaux ils ont aussi un côté commun qui est ici le côté à eux qui est identique dans ces deux triangles là et donc si ils ont ces deux angles en commun ici et l'hypoténuse en plus en commun on sait donc que les triangles m donc je vais le marquer ici les triangles m à e et n a eu sont ici isométrique c'est à dire ils sont égaux donc triangle mae et isométrique ou congruent au triangle n a eu et donc ça c'est très intéressant puisque ça nous dit que en fait si ces deux triangles là sont isolés tricks et bien la distance ici m e doit être égale à la distance ici e n donc ici ça nous donne que le m est égal à eux n donc en fait on a montré la première propriété importante des bissectrice qui est que tous points présent sur la bissectrice d'un angle sera à égale distance des droites qui composent sept ans d'accord donc en fait ça ça aurait été exactement la même chose si et bien j'avais choisi mon point e ici ici et c'est donc maintenant on va montrer linverse c'est à dire qu'on va montrer que tous points qui à égale distance de deux droites qui forment un angle et bien et sur la bissectrice de cet angle là donc en fait je vais redessiner ici un angle voir là et donc je vais appeler ici cet angle a ici on aura pareil un point b ici un point c est donc je vais avoir un point e ici d'accord est par construction je vais dire qu'il est à égale distance de la droite ab donc c'est à dire ici voilà la distance avec la droite ab est à égale distance de ab et 2 ac donc c'est à dire que ici donc c'est segment là sont perpendiculaires aux droites et donc j'ai cette distance-là est égale à celle distance n'a donc pour plus de facilité je vais appeler ici les points d'intersection m et n donc on sait que em est égale à e n dans cette figure est ce qu'on veut savoir c'est si eux et sur la bissectrice de l'angle donc la première chose qu'on va faire c'est qu'on va dessiner le segment a eu ici est ce qu'on voit c'est que comme tout à l'heure et bien on a deux triangles rectangles qui sont définies ici on a à m e et on a à e n 10 est ce qu'on sait danser triangle là c'est bon déjà ils ont un angle en commun qui est l'angle droit puisqu'ils sont tous les deux rectangles ils ont aussi a un côté identique puisque m e est égale à e n et ils ont aussi un autre côté identiques qui est ici à eux puisque à eux est un côté comme un des deux triangles ça nous dit que vu que deux des longueurs sont identiques pour ces deux triangles rectangles et bien la troisième longueur ici est donc identique pour ces deux triangles et des triangles dont les trois côtés son ego et bien ce sont des triangles isométrique ce sont des triangles ego ici en fait on n'avait même pas besoin de dire que les trois côtés étaient identiques puisque on savait qu'on est dans un triangle rectangle et quand on est dans un triangle rectangle il suffit que deux des côtés soient identiques entre deux triangles pour dire qu'ils sont échos dans tous les cas ici ce qu'on a c'est qu'on a le triangle donc m à eux qui est isolé trick au triangle n a donc comme tout à l'heure et ça qu'est ce que ça nous dit eh bien ça nous dit aussi que les angles à l'intérieur de ce triangle de la sont identiques donc l'angle b à e et l'angle cae sont identiques c'est à dire qu'on a donc b a eu avec un petit chapeau pour dire que c'est l'angle qui est égal à l'angle c'est à eux voilà et donc on a montré ce qu'on voulait tout point qui est à égale distance de deux droites formant un angle ici sera donc sur la bissectrice de cet angle là donc on a montré sa et avant on avait montré que tout point qui est sûre la bissectrice d'un anglais est à égale distance des droites qui forment cet angle là