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Reconnaître si un point est sur un cercle

On donne dans un repère le centre du cercle C1, le centre du cercle C2 et un point qui appartient au cercle C1 et au cercle C2. Tel autre point appartient-il à l'un des cercles, aux deux cercles, ou ni à l'un, ni à l'autre des deux cercles ? Créé par Sal Khan.

Transcription de la vidéo

le point à a pour coordonner moins 5,5 et le centre d'un cercle c1 alors j'ai placé déjà le point assure ce repère nous dit qu'il a pour cordonner moins 5,5 donc moins 1 - 2 - 3 - 4 - 5 ça c'est son abscisses et puis sont ordonnés c5 donc un jeu 1 2 3 4 5 voilà un deux trois quatre cinq voilà ici c'est le point a et on nous dit que c'est le centre d'un cercle c'est un que je vais pas tracé ici parce que de toute façon pour l'instant je ne connais pas encore son rayon le point béa pour coordonner 3-1 le point béa pour coordonner 3 1 ont pu être placés aussi donc trois c123 ça c'est son abscisses et puis hein c'est ici voilà donc ça c'est le point b et on nous dit qu'il est le second le centre d'un cercle c'est d'eux que je vais pas tracé non plus parce que je ne connais pas non plus son rayon le point p à pour coordonner 0-0 et appartient aux deux cercles c1 et c2 alors le point p je vais le placer il est en fait à l'origine du repaire ça ici c'est le point p et ce qui est intéressant c'est qu'on nous dit qu'il appartient aux deux cercles c1 et c2 donc ça c'est intéressant parce que ça va nous permettre de calculer les rayons des cercles c1 et c2 puisque le rayon du cercle c1 ça sera la distance ap et le rayon du cercle ces deux ça sera la distance pb voilà dire si les points suivants sont situés sur le cercle c1 sur le cercle c2 ou sur ces deux cercles donc les points en question c'est ces trois points là c d et e dont on donne les coordonnées donc là le plan de travail est assez clair il va falloir d'abord ton calcul les rayons des cercles c1 et c2 donc ses distances la ap epb et puis ensuite on va calculer la distance de chacun de ces points au centre a et b aux deux centres a et b pour voir s'ils appartiennent ou pas au cercle c1 et c2 donc finalement le clac les ici ça va être de savoir calculer des 10 des distances alors pour calculer la distance entre deux points en connaissant leurs coordonnées et bien il ya une formule que tu peux aller réapprendre aussi tu veux je veux être là redonner ici c'est peut-être la distance entre deux points mnc racine carrée de la différence des abscisses x m - x n élevée au carré plus la différence d ordonner y m - y n élevée au carré voilà alors là tu peux calculer cette distance là dans les deux sens puisque si tu calcules xl - xm et que tu élèves au quart est tu trouveras la même chose que si tu calcules xm - x n est que tu élèves au carré voilà ou alors ça tu peux l'apprendre par coeur et tu peux aussi très bien te rappeler que finalement ça équivaut à appliquer le théorème de pythagore je le montre rapidement parce que je trouve que c'est important de se souvenir de ça la distance m nc si tu te places dans un triangle rectangle comme ça voilà donc la danse et ça c'est un triangle rectangle et ici c'est x m - x n cette distance là hélas et y m - y n la différence des abscisses ici et la différence d ordonner la donc après on retrouve exactement cette formule enfin là je vais déjà calculé le rayon du cercle c'est un donc le rayon du cercle c'est un jeu et le fer ce je vais faire ça en rouge c'est cette distance là donc je vais avoir que ap bon je vais calculé ap au carré ça sera plus simple puisque en fait j'ai calculé le carré du rayon c'est tout ce qui va me servir pour l'instant donc c'est la différence des abscisses donc - 5 - 0 élevée au carré plus la différence d ordonner donc 5 6 et 5 là c'est moins 5 donc là j'ai calculé déjà - 5 - 0 c'est cette distance là et puis 5 - 0 c'est la différence désordonnée voilà 5 - 0 que j'élève au carré donc ap au carré ces cinq au carré +5 au carré ça fait vingt-cinq +25 voilà donc ça fait cinquante voilà donc finalement on peut dire que le carré du rayon ses 50 donc à rayons c et racine carrée de 50 et c'est donc cinq fois racines de 2 2 fois 25 57 2 x 25 donc racine de 50 ces cinq racines de 2 voilà ensuite on va calculer maintenant le rayon bébé un donc le rayon du cercle c2c cette distance là et on va calculer comme tout à l'heure pb au carré donc ça va être donc ça va être la différence des abscisses donc l'abscisse de b c 3 - l'abscisse de paix qu'est 0 élevée au carré plus l'ordonné de béquilles et 1 - l'ordonné de paix qui est zéro élevée au carré donc ça ça fait 3 aux caresses a fait 9 + 1 aux caresses qui fait un donc ça fait 9 + 1 ça fait 10 donc finalement le rayon du cercle c2c bp cette distance bpc racine carrée de 10 voilà donc là aussi on va se servir surtout de cette valeur là alors maintenant je vais répondre à la question donc je vais déjà occupé du point c'est en fait j'avais calculé la distance assez la distance ac au carré donc c'est l'app six de ces qui est 4 - lab 6 2 a donc qui est moins 5 le tout est élevée au carré plus l'ordonné de ses quais - 2 - l'ordonné de acquis et 5 élevée au carré voilà et ça ça fait alors 4 - -5 ça fait 4 + 5 ça fait neuf donc neuf élevée au carré ça fait 80 un plus - de - 5 que ça fait moins sept élevée au carré ça fait quarante neuf voilà 49 donc j'ai 80 + 49 ça fait 80 + 9 ça fait 90 plus qu à +40 ça fait 130 voilà donc assez au carré est bien plus grand que ap aux caresses qui veut dire que ac sera plus grands caps et donc ce qu'on peut dire tout de suite c'est que le point c'est n'est pas si c'est un alors maintenant je vais regarder si le point c est située sur le cercle ces deux donc je vais faire un peu de place et je vais calculer la distance baissé au carré baissé au carré donc je vais faire la différence des abscisses l'abscisse de baisser 3 - l'abscisse de cd4 élevée au carré plus l'ordonné 2b qui est un - l'ordonné de ces qui est moins deux élevée au carré le tout élevée au carré pardon donc la 3 - 4 ça fait moins élevée au carré ça fait 1 + 1 - moins de un mois -2 ça fait 3 élevée au carré ça fait neuf donc la g1 +9 ça fait 10 alors là par contre on voit que baisser est égal à bp donc finalement le point c est sur le cercle c'est 2 voilà donc là ça je vais l'écrire ici il est sûr c'est de celui là et je vais placer le point c'est donc son art données sont abscisse pardon c'est qu'après sont ordonnés ses -2 donc le point c'est il est ici un et on voit on aurait pu avoir l'intuition que c'était possible puisque la distance bp et prend l'air d'être égal à baisser alors il faut jamais se fier ça mais ça peut donner une intuition et il faut de toute façon on passait par le calcul pour être sûr de ce qu'on voit voilà alors je vais faire la même chose maintenant avec le point d alors déjà je peux je vais placer le point d être ce que j'aurais dû faire en premier tout à l'heure donc le point des sons abscisse c5 qui est ici et sont ordonnés c3 donc 1 2 3 voilà des il est là à peu près donc la distance ad c'est celle là voilà est à priori à l'air plus grande que la distance ap donc on peut se dire on peut avoir l'impression que des n'est pas sur ses seins mais on va quand même le faire on va calculer la distance à des au carré et si des sur le cercle c1 et bien on va dans devrait trouver que la distance à des au carré est égale à 50 alors là j'ai la différence des abscisses donc c'est l'abc ce2 ac - 5 - lab 6,2 des pieds 5 élevée au carré + lat l'ordonné de à qui et 5 - l'ordonné 2d qui est roi élevée au carré voilà donc la g - 5 - 5 ça fait moins 10 élevée au carré ça fait sens ici j'ai 5 - 3 ça fait deux élevée au carré ça fait 4 a donc là j'ai 100 + 4 ce qui fait 104 supérieur à 50 donc donc des n'est pas n'est pas sur ses seins voilà alors maintenant je vais calculer la distance bd au carré pour voir si des et sur le cercle ces deux la distance bd au carré c'est celle là et là on peut avoir l'impression que c'est la même donc on va regarder sa bd au carré l'abscisse l'abscisse de baisser 3 - l'abscisse de d2 des quais 5 oui c'est ça élevée au carré plus l'ordonné de békés 1 - l'ordonné de deck et 3 élevée au carré alors 3 - 5 ça fait moins deux élevée au carré ça fait 4 et là j'ai 1 - 3 qui fait moins de élevée au carré fait quatre donc là j'ai 4 + 4 ça fait 8 et ça c'est plus petit que 10 en fait on avait l'impression que c'était à peu près la même distance mais on voit en fait par le calcul que cette distance là est un peu plus petit que le rayon du cercle donc ici des n'est pas sur ces deux non plus donc ça je vais l'écrire ici ni sur des c'est un nid sur ces deux voies là alors il nous en reste un os exactement on va faire exactement de la même manière alors je vais placer le point e donc le point que je vais prendre du orange le point a eu son apsys c'est moins de ici et sont ordonnés ses 8 1 2 3 4 5 6 7 8 donc il est là ça c'est le point e donc on va regarder la distance ea c'est celle là et on a l'impression qu'elle est plus petite que la distance ap on va voir si c'est vrai je vais calculer la distance à eux élevée au carré donc l'ap 6,2 à ces - 5 - l'abscisse 2e qui est moins deux élevée au carré plus l'ordonné de à qui et 5 - l'ordonné de peu qu'ils aient 8 élevée au carré donc là j'ai moins cinq mois -2 ça fait moins plus deux ça fait trop -3 élevée au carré ça fait 9 plus alors ici g5 -8 5 - 8 ça fait moins trois élevée au carré aussi ça fait neuf donc la g9 +9 qui fait 18 donc effectivement c'est plus petit que 50 donc c'est l'intuition qu'on avait en regardant le dessin était bonne eux n'est pas n'est pas sur ses seins maintenant on va regarder si il est sûr c'est sur ces deux impressions là aussi que pas du tout puisque la distance eb c'est celle là qui a l'air beaucoup plus grande que la distance bp on va le calculer par acquis de conscience la distance behe au carré c'est donc l'abscisse de b c 3 - l'abscisse de ce 2 e pardon qui est moins deux élevée au carré plus l'ordonné de becker 1 - l'ordonnait 2e qui est 8 élevée au carré trois mois -2 ça fait 3 plus de ça fait 5 est élevée au carré ça fait 25 j'ai donc 25 et puis ici j'ai un -8 ce qui fait moins 7 élevée au carré ça fait quarante neuf donc la g25 +49 et ça ça fait bon 73 14 74 et c'est bien plus grand que 10 donc eux n'est pas n'est pas non plus sur ces deux sur ces deux voies là on a terminé je vais noter le résultat ici ni sur ses seins ni sur ses 2 voilà tout ça c'est une application directe de la formule qui donne la distance de entre deux points