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Les 3 médianes d'un triangle se coupent en un point - Démonstration

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va démontrer un résultat assez important et même assez étonnant je trouve qui est que quand on prend un triangle n'importe quel triangle et qu'on trace les trois médiane de ce triangle et bien ces trois médias devront se couper en un point alors c'est assez étonnant parce que évidemment si on prend deux médiane on comprend bien qu elles vont se couper en main points mais là ce sont les trois médiane de n'importe quel triangle qui vont se couper en un point alors pour ça j'ai tracé ici un triangle c'est un triangle quelconque qui a une forme quelconque gelé juste place et de cette manière là sur le plan c'est à dire que j'ai placé un sommet en l'origine un autre sommet sur l'axé des abscisses et puis un troisième sommet au hasard quelque part dans le plan alors évidemment tu vas me dire oui mais ça c'est un triangle particulier quand même puisque tu l'a placé dans un endroit donné en fait tu pourrais avoir un triangle est exactement les mêmes dimensions donc qui sont quelconques mais placer ailleurs dans le plan et tu pourrais être amené à celui ci simplement en faisant des transformations isométrique donc change pas les longueurs des mesures par exemple des symétries des rotations des transformations de ce genre là pour le placer dans cette position-là donc ce qu'on va faire sur ce triangle en fait c'est tout à fait général si on arrive à démontrer que dans ce triangle tout les médias ne se coupe en un point on leur a démontré pour n'importe quel triangle alors je vais tracer les médianes donc rappelle toi une médiane c'est une droite qui passe par un sommet du triangle et par le milieu du côté opposé donc là je les ai tracé tout les 3 es tu vois bien que a priori c'est vrai qu'elle se coupant dont un point donné puisque c'est ce qui apparaît ici mais évidemment ça fait pas du tout office de preuve tu sais très bien qu en mathématiques une figure sert éventuellement a donné des idées à développer ton intuition mais certainement pas une preuve puisque il se pourrait très bien que ce soit vrai uniquement pour ce triangle là que j'ai tracé qui a des mesures donné du coude sur le dessin donc il faut qu'on arrive à démontrer ça différemment par le calcul est ce qu'on va faire ici c'est utiliser les coordonnées de nos points alors la première chose qu'on va faire c'est essayer de déterminer les coordonnées des milieux de chaque côté du triangle alors mais la vidéo sur pause et essaye de le faire de ton côté et ensuite on se retrouve alors il ya une formule pour calculer les coordonnées du milieu d'un segment c'est qu'on ajoute les deux abscisses et on divise par deux et on ajoute les deux ordonné on divise par deux ça ça donnera les coordonnées à du milieu alors pour que ce soit plus clair je vais nommer les sommets ça fait pas de mal donc celui ci c'est le point haut l'origine du repère ce point là je vais l'appeler à et ce point là je vais l'appeler b voilà alors maintenant je vais calculer les coordonnées du milieu du segment arabe et en appliquant la formule que j'ai rappelé tout à l'heure donc c'est à + b divisés par deux puis c'est + 0 donc c'est diviser par deux voilà ça la formule que tu connais une interprétation qui est très utile c'est qu'en fait l'abscisse du milieu c'est la moyenne des abscisses des deux extrémités et leur donner du milieu c'est la moyenne désordonnée des deux extrémités ça c'est une interprétation assez utile aussi tu vas voir pourquoi on va s'en resservir un petit peu tout à l'heure alors ça c'est pour le milieu du segment ab maintenant on va s'occuper du milieu du segment haut a donc son abscisse c'est la moyenne des deux abscisse ici ce point là pour cordonner 0 0 et ce point là pour coordonner à zéro donc l'abscisse du milieu c'est à + 0 / 2 donc à sur deux et sont ordonnés c'est zéro plus zéro divisée par deux ce qui fait zéro divisée par deux ce qui fait zéro évidemment le milieu à une ordonné nul 1 puisqu'il est sur l'axé des abscisses alors je te laisse mettre la vidéo sur pause et essayer dé terminer de la même manière les coordonnées du milieu du segment aubé alors pour ob ont fait la même chose ce point là pour coordonner 00 je vais leur écrire ici et se prend 1,6 à pour coordonner baisser donc l'abscisse du milieu c'est la moyenne des deux abscisse donc b + 0 / 2 c'est-à-dire b / 2 et puis sont ordonnés c'est la moyenne des deux ordonné donc c'est plus 0 divisée par deux ce qui me donne c divisés par deux voilà alors là j'ai les coordonnées maintenant des sommets de mon triangle et des milieux de chaque côté alors ce que je vais faire maintenant s'est exhibé un point dont les coordonnées appartiennent aux trois médiane ce qui voudra dire que les trois médiane se coupent effectivement en un point pour ça je vais utiliser la figure pour développer un peu mon intuition alors je vais donner des noms au point pour ce soit un peu plus clair le point d'intersection ici ce point là je vais l'appeler j'ai c'est pas encore le point d'intersection des médianes mais je vais l'appeler j'ai comme ça ici le milieu de ab je vais l'appeler y le milieu de vos bébés la pj et celui ci je peux l'appeler cas voilà alors si je regarde cette première médiane en bleu eh bien j'ai l'impression que le segment auger il est à une proportion de deux tiers de la note distance rien c'est à dire que j'ai l'impression que je pourrais couper le segment en trois parties et la distance auger serait deux fois la distance geii autrement dit on peut l'écrire comme ça aussi auger c'est deux tiers de oy alors c'est une supposition que je fais un saut c'est la figure qui me donne cette impression là mais je vais me servir de cette figure et si j'arrive ensuite à déterminer les coordonnées du point g je pourrais regarder si effectivement ce point g appartient aux deux autres médias alors pour calculer les coordonnées du point g tu pourrais utiliser les vecteurs ou tu pourrais déterminer la distance oui il a coupé en cette proportion laon prendre deux tiers à partir de haut mais là ce qu'on va faire c'est utiliser un peu une formule analogue à celle des coordonnées du milieu d'un segment tout à l'heure je t'ai dit que pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment on faisait la moyenne des coordonnées des deux extrémités ici on va faire un petit peu la même chose mais on va utiliser une moyenne pondérée c'est à dire que je vais utiliser le fait que j'ai est deux fois plus proche d'eux y que de hauts et pour traduire ça en fait je vais écrire ça comme ça ga pour coordonner alors son abscisse ces deux tiers de l'abc ce2 y donc deux tiers poids a + b sur deux plus un tiers de l'abc ce duo donc plus un tiers poids 0 voilà et pour les ordonner je vais faire la même chose je vais calculé deux tiers de l'ordonner de y donc deux tiers fois c'est sur deux plus un tiers de leur donner deux hôtes donc un tiers fois zéro capitule ici je calcule la moyenne pondérée des abscisses de haut et de y en utilisant le fait que le point g est deux fois plus proche de ic de haut alors je vais faire les calculs donc j'ai à pour cordonner deux tiers fois a + b sur deux c'est à dire les deux vont simplifier en fait il me reste a + b sur trois un tiers x 0 donc plus zéro donc l'abscisse de gc a + b sur trois et puis sont ordonnés ces deux tiers fois c'est sur deux plus un tiers x 0 donc cessé sur trois voilà donc j'ai un point ici qui est sur la médiane bleus la médiane au i et qui est située à deux tiers de la longueur aux é alors maintenant je vais faire la même chose pour la médiane qui est en verre ici bon je vais pas appeler le point g puisque je ne sais pas encore que c'est le même mais je vais prendre un point sur cette médiane qui est situé à deux tiers de la longueur bk en partant de béton qui sera deux fois plus proche de cas que de paix alors ses coordonnées je vais les calculs et ans exactement de la même manière en quelque en utilisant la moyenne pondérée alors son absence avait deux tiers fois l'abscisse de kaka sur deux puisqu'il est deux fois plus proche de cas que deux baies plus un tiers fois l'abscisse de b qui est b voilà pour les ordonner je vais prendre deux tiers de l'abc ce2 cac et zéro donc deux tiers x 0 plus un tiers de ces alors je peux faire les calculs ça ça me donne deux tiers fois à sur deux donc à sur trois plus un tiers de b c'est-à-dire b sur trois donc en fait l'abscisse ici c'est a + b sur trois puis lors donné deux tiers x 0 ça fait zéro plus un tiers de ces cetc sur trois donc tu vois qu'on retrouve ici les coordonnées du point g ce qui veut dire que le point g que j'ai exhibé tout à l'heure et bien ces points d'intersection de la médiane bleus et de la médiane verte alors maintenant je vais passer à la dernière médiane la rose ici et je vais calculer les coordonnées d'un point qui est sûre cette médiane et qui est située à deux tiers de la longueur agit en partant de à redon qui sera deux fois plus près de j que d'eux a alors ses coordonnées je vais les calculs et comme tout à l'heure c'est deux tiers fois l'abscisse de gic et b sur deux deux tiers x b sur deux plus un tiers voilà ben 6,2 à quai à puis pour les ordonner je vais faire la même chose j'ai calculé deux tiers fois l'ordonné de jcs essais sur deux plus hier fois leurs données de hacker 0 donc plus un tiers x 0 et quand je fais les calculs ici gb sur deux fois deux tiers c'est-à-dire b sur trois plus un tiers de à c'est-à-dire a + b sur trois voilà ça c'est absys et puis leur donner ces deux tiers fois c'est sur deux c'est à dire c'est sur 3 + 0 donc c'est sur trois et là encore une fois tu vois quand on retrouve exactement les coordonnées du point g donc ça y est on a démontré que dans ce triangle les trois médias ne se coupe en un point g dont on à déterminer les coordonnées en fonction des coordonnées des sommets et je te rappelle que ce triangle est tout à fait général si tu en a un autre qui est placée ailleurs dans le plan eh bien tu peux le positionner comme celui ci en utilisant des transformations isométrique du plan donc on a démontré ce résultat de manière tout à fait général dans n'importe quelle triangle les trois médias se coupe en un point