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Cours : Géométrie niveau 2 > Chapitre 9

Leçon 3: La longueur d'un arc de cercle si les angles sont en degrés

Exercices : longueur d'un arc de cercle - 2

Deux exercices

Exercice 1

Le rayon du cercle de centre

P

est égal à

10

et la longueur de l'arc

\overset{⌢}{A B C}

est égale à

16 π

Quelle est la mesure en degrés de l'angle au centre qui intercepte le petit arc $\overset{⌢}{A C}$ ‍ ?

On cherche la mesure de l'angle au centre qui intercepte le petit arc de cercle dont les extrémités sont

A

C

Pour trouver la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{A B C}

, on doit calculer la circonférence du cercle.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 10 \\ = 20 π \end{aligned}$ ‍

On connaît la longueur de l'arc

\overset{⌢}{A B C}

et on sait qu'elle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte, donc :

$\begin{aligned} \frac{longueur de l’arc de cercle}{circonférence} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte}{angle plein} \\ \frac{16 π}{20 π} & = \frac{angle au centre qui l’intercepte}{360^{\circ}} \\ angle au centre qui l’intercepte & = 360^{\circ} \times \frac{16 π}{20 π} \\ = 288^{\circ} \end{aligned}$ ‍

La mesure en degrés de l'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{A B C}

est égale à

288^{\circ}

La somme de l'angle au centre qui intercepte l'arc

\overset{⌢}{A B C}

et de celui qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{A C}

est égale à l'angle plein.

$\begin{array}{r} 288^{\circ} + angle qui intercepte \overset{⌢}{A C} = 360^{\circ} \\ angle qui intercepte \overset{⌢}{A C} = 72^{\circ} \end{array}$ ‍

La mesure de l'angle au centre qui intercepte le petit arc $\overset{⌢}{A C}$ ‍ est égale à $72^{\circ}$ ‍.

Exercice 2

Le rayon du cercle de centre

P

est égal à

18

et la longueur du petit arc

\overset{⌢}{B A}

est égale à

14 π

Quelle est la mesure en degrés de l'angle au centre qui intercepte le petit arc $\overset{⌢}{B C}$ ‍ ?

^{\circ}

On cherche la mesure de l'angle au centre qui intercepte le petit arc de cercle dont les extrémités sont

B

C

La longueur d'un arc de cercle est proportionnelle à la mesure en degrés de l'angle au centre qui l'intercepte. On calcule donc d'abord la circonférence du cercle.

$\begin{aligned} Circonférence & = 2 π r \\ = 2 π \times 18 \\ = 36 π \end{aligned}$ ‍

On connaît la longueur de l'arc

\overset{⌢}{B A}

et on sait qu'elle est proportionnelle à la mesure de l'angle au centre qui l'intercepte, donc :

$\begin{aligned} \frac{longeur de l’arc}{circonférence} & = \frac{mesure de l’angle au centre qui l’intercepte}{mesure de l’angle plein} \\ \frac{14 π}{36 π} & = \frac{mesure de l’angle au centre qui l’intercepte}{360^{\circ}} \\ mesure de l’angle au centre qui l’intercepte & = \frac{14 π}{36 π} \times 360^{\circ} \\ = 140^{\circ} \end{aligned}$ ‍

L'angle au centre qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{B A}

est la somme de l'angle au centre qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{B C}

et de celui qui intercepte le petit arc

\overset{⌢}{C A}

$76^{\circ} + angle au centre qui intercepte le petit arc \overset{⌢}{B C} = 140^{\circ}$ ‍

La mesure en degrés de l'angle au centre qui intercepte le petit arc $\overset{⌢}{B C}$ ‍ est égale à $64^{\circ}$ ‍.

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