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Démonstration du théorème de l'angle inscrit

On démontre que l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc

Avant de commencer...

nous allons préciser les désignations utilisées.
Nous allons utiliser trois lettres grecques pour désigner un angle au centre, l'angle inscrit qui intercepte le même arc et l'arc intercepté. Voici un premier petit exercice :
Associer chacune des désignations marquées sur la figure à l'objet géométrique qu'elle désigne.
1

Nous allons utiliser ces désignations dans toute la démonstration.

Que va-t-on démontrer ?

On va démontrer que si un angle inscrit ψ et un angle au centre θ interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.
θ=2ψ

Les trois cas de figure

Pour démontrer que quels que soient θ et ψ, θ=2ψ, on doit étudier trois cas de figure :
Cas ACas BCas C
Il n'y a pas d'autre cas de figure.

Cas A : L'un des côtés de l'angle inscrit ψ est un diamètre.

1 - On repère un triangle isocèle.

[BC] et [BD] sont des rayons du cercle, donc le triangle CBD est isosèle et ses angles à la base sont égaux :
C^=D^=ψ

2 - On repère un angle plat.

L'angle AB^C est un angle plat, donc
θ+DB^C=180DB^C=180θ

3 - On écrit une égalité vérifiée par ψ.

Les angles du triangle CBD sont ψ, ψ et (180θ) et leur somme est égale à 180.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Le théorème est démontré dans le cas A.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit ψ, est intérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

ψ est la somme des angles ψ1 et ψ2 et θ est celle des angles θ1 et θ2 :

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

On sait d'après la démonstration précédente que
(1)θ1=2ψ1
et
(2)θ2=2ψ2
.

3 - On en déduit la formule

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)θ=2ψcar θ=θ1+θ2 et ψ=ψ1+ψ2
On a démontré la formule dans le cas B.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit est extérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

On définit deux nouveaux angles : θ2 et ψ2 :

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

De la même façon que dans le cas B, on peut déduire du cas A que :
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

3 - On en déduit la formule.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
On a démontré que dans les trois cas θ=2ψ.

Récapitulatif

On devait démontrer qu'un angle au centre est égal au double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
On a distingué trois cas de figure.
Cas ACas BCas C
Dans le Cas A, on a repéré un triangle isocèle et un angle plat. Ce qui nous a permis d'écrire deux égalités liant ψ et θ. On a déduit de ces deux égalités que θ=2ψ.
Dans les cas B et C, on a tracé un diamètre :
Cas BCas C
Ce qui nous a permis d'exploiter le résultat démontré au cas A. Et on en a déduit que dans les trois cas de figure, θ=2ψ.

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  • marcimus pink style l'avatar de l’utilisateur Intissar.Rahma71
    C est tellement intéressant
    (2 votes)
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  • male robot johnny style l'avatar de l’utilisateur Marc Pechaud
    Le troisième cas n'est pas facile à comprendre !
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur aziz_love1989
    soit BAC un angle inscrit dans cercle T qui intercepte l'arc BC de (T) et A' un point tq angle BAC=BA'C

    Montrer que A' appartient a (T)
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Soit A' un point extérieur au cercle tel que angle BAC= angle BA'C.
      On appelle simplement angle A' l'angle BA'C.
      On fait un raisonnement par l'absurde.
      On appelle D le point d'intersection du cercle et du segment [A'B] et E le point d'intersection du cercle et de [A'C].
      angle BAC=angle BDC car ce sont sont deux angles inscrits interceptant le même arc.
      On en déduit que angle BDC = angle BA'C
      Or ceci est impossible car comme l'angle BDC est extérieur au triangle CDA', il est égal à la somme angle A' + angle DCA'
      On aurait donc :
      angle A'= angle BDC - angle DCA'= angle BAC - angle DCA'
      ET angle A' = angle BAC
      C'est impossible.
      On démontre d'une façon analogue qu'il n'est pas possible que A' soit à l'intérieur du cercle.
      (C'est dommage que l'on ne puisse pas faire de figure)
      (1 vote)
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