If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Géométrie niveau 2

Cours : Géométrie niveau 2 > Chapitre 9 

Leçon 7: Les angles inscrits
Mathématiques
Géométrie niveau 2
Cercles
Les angles inscrits
© 2023 Khan AcademyConditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialitéUtilisation de cookies

Démonstration du théorème de l'angle inscrit

Google Classroom
On démontre que l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc

Avant de commencer...

nous allons préciser les désignations utilisées.
Nous allons utiliser trois lettres grecques pour désigner un angle au centre, l'angle inscrit qui intercepte le même arc et l'arc intercepté. Voici un premier petit exercice :
Associer chacune des désignations marquées sur la figure à l'objet géométrique qu'elle désigne.
1

Nous allons utiliser ces désignations dans toute la démonstration.

Que va-t-on démontrer ?

On va démontrer que si un angle inscrit start color #11accd, \psi, end color #11accd et un angle au centre start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff interceptent le même arc, alors la mesure de l'angle au centre est le double de celle de l'angle inscrit.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Les trois cas de figure

Pour démontrer que quels que soient start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff et start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd, on doit étudier trois cas de figure :
Cas ACas BCas C
Il n'y a pas d'autre cas de figure.

Cas A : L'un des côtés de l'angle inscrit start color #11accd, \psi, end color #11accd est un diamètre.

1 - On repère un triangle isocèle.

open bracket, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, close bracket et open bracket, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, close bracket sont des rayons du cercle, donc le triangle C, B, D est isosèle et ses angles à la base sont égaux :
C, with, \widehat, on top, equals, D, with, \widehat, on top, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

2 - On repère un angle plat.

L'angle start color #e84d39, A, B, with, \widehat, on top, C, end color #e84d39 est un angle plat, donc
θ+DB^C=180∘DB^C=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + D\widehat BC &= 180^\circ \\\\ D\widehat BC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

3 - On écrit une égalité vérifiée par start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Les angles du triangle C, B, D sont start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd et left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis et leur somme est égale à 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Le théorème est démontré dans le cas A.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit start color #11accd, \psi, end color #11accd, est intérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

start color #11accd, \psi, end color #11accd est la somme des angles start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd et start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd et start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff est celle des angles start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff et start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff :

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

On sait d'après la démonstration précédente que
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
et
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
.

3 - On en déduit la formule

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)θ=2ψcar θ=θ1+θ2 et ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\text{car }\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ et } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
On a démontré la formule dans le cas B.

Cas B : Le diamètre dont l'une des extrémités est le sommet de l'angle inscrit est extérieur à cet angle.

1 - On trace ce diamètre

On définit deux nouveaux angles : start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 et start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 :

2 - On exploite le résultat démontré dans le Cas A.

De la même façon que dans le cas B, on peut déduire du cas A que :
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

3 - On en déduit la formule.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
On a démontré que dans les trois cas start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Récapitulatif

On devait démontrer qu'un angle au centre est égal au double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
On a distingué trois cas de figure.
Cas ACas BCas C
Dans le Cas A, on a repéré un triangle isocèle et un angle plat. Ce qui nous a permis d'écrire deux égalités liant start color #11accd, \psi, end color #11accd et start color #7854ab, theta, end color #7854ab. On a déduit de ces deux égalités que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Dans les cas B et C, on a tracé un diamètre :
Cas BCas C
Ce qui nous a permis d'exploiter le résultat démontré au cas A. Et on en a déduit que dans les trois cas de figure, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous
  • male robot johnny style l'avatar de l’utilisateur Marc Pechaud
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Marc Pechaud «Le troisième cas n'est pa ... »
    Le troisième cas n'est pas facile à comprendre !
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur aziz_love1989
    Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de aziz_love1989 «soit BAC un angle inscrit ... »
    soit BAC un angle inscrit dans cercle T qui intercepte l'arc BC de (T) et A' un point tq angle BAC=BA'C

    Montrer que A' appartient a (T)
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Soit A' un point extérieu ... »
      Soit A' un point extérieur au cercle tel que angle BAC= angle BA'C.
      On appelle simplement angle A' l'angle BA'C.
      On fait un raisonnement par l'absurde.
      On appelle D le point d'intersection du cercle et du segment [A'B] et E le point d'intersection du cercle et de [A'C].
      angle BAC=angle BDC car ce sont sont deux angles inscrits interceptant le même arc.
      On en déduit que angle BDC = angle BA'C
      Or ceci est impossible car comme l'angle BDC est extérieur au triangle CDA', il est égal à la somme angle A' + angle DCA'
      On aurait donc :
      angle A'= angle BDC - angle DCA'= angle BAC - angle DCA'
      ET angle A' = angle BAC
      C'est impossible.
      On démontre d'une façon analogue qu'il n'est pas possible que A' soit à l'intérieur du cercle.
      (C'est dommage que l'on ne puisse pas faire de figure)
      (1 vote)
  • marcimus pink style l'avatar de l’utilisateur Intissar.Rahma71
    Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Intissar.Rahma71 «C est tellement intéressa ... »
    C est tellement intéressant
    (1 vote)
    Default Khan Academy avatar l'avatar de l’utilisateur
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.