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Démonstration - la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon

Transcription de la vidéo

bonjour alors ici j'ai tracé un cercle de centraux j'ai placé un point assure le cercle n'importe où et puis j'ai tracé la tangente au cercle qui passe par le point a alors la tangente c'est une droite qui ne coupent pas le cercle le touch simplement en un point ici le point a et c'est tout donc ya pas elle ne coupe pas le cercle il ya aucun point de la droite qui est à l'intérieur du cercle donc ce qu'on va démontrer dans cette vidéo c'est que le segment haut a donc qui relie le centre du cercle et le point de contact du cercle et de la tangente et bien ce segment aux as et perpendiculaires à la tangente tu es donc on va démontrer qu'ici il ya un angle droit et pour faire ça on va procéder en deux temps la première chose qu'on va démontrer c'est que le point à c'est le point de la tangente qui est le plus proche de haut donc ça ça va être notre première étape montrer quea et le point de thé 1 de la tangente t le plus proche le plus proche de haut cercle ça ça va être notre première étape ça va pas être trop difficile et puis une autre deuxième étape ça va être de montrer que si je prend 1.1 point m qui n'appartient pas à la droite quand m qui n'appartient pas à la droite et à le point le plus proche le point de la droite le plus proche le point de thé le plus proche alors le segment à m m et perpendiculaires à la droite et donc deux étapes d'abord on va montrer que a c'est le point de la droite qui est le plus proche de haut et ensuite on va démontrer que si je prends une droite un point hors de la droite est bien la distance la plus courte de ce point à la droite c'est celle qui est telle que le segment fait un angle droit alors on va commencer par la première étape ça c'est notre programme alors pour la première étape donc montré que le point a et le point de la droite tangente qui est le plus proche du centre du cercle ça va pas être trop compliqué puisque en fait je peux si je regarde je peux prendre un point n'importe où sur la droite par exemple ici là bien de l'autre côté aussi par exemple la houle à n'importe où sur la droite et bien en fait quand je trace le segment qui va du centre jusqu'à ce point là et bien forcément il est plus grand que le rayon ce que j'ai dit tout à l'heure c'est que la tangente elle ne coupe pas le cercle donc tous les points de la tangente sont situées à l'extérieur du cert donc quand je trace le segment qui part du centre du cercle jusqu'à la droite et bien déjà je dois parcourir cette distance là qui est le rayon du cercle donc la distance au a plus une petite partie qui reste à parcourir puisque le point a et forcément hors du cercle donc cette première étape là elle est assez facile on voit bien que le point a et le point de la droite qui est le plus proche du centre du cercle alors maintenant on va s'occuper de la deuxième partie alors je vais copier ça et je vais descendre un petit peu pour démontrer voilà c'est cette partie là qu'on doit démontrer donc on va prendre une droite je peux la faire n'importe comment comme ça je vais l'appeler t comme tout à l'heure mais c'est pas forcément la tangente là je suis dans un cas beaucoup plus général et je vais prendre un point m or de la droite ici donc ce qu'on doit démontrer c'est que le point de la droite qui est le plus proche de m c'est celui qui est ici qu'on obtient en descendant à partir de m perpendiculairement à la droite t alors pour faire ça je vais faire un raisonnement par l'absurde donc je vais prendre un point m qui n'appartient pas à la droite et et puis je vais prendre à le point le plus proche c'est le point droite t qui est le plus proche qui est le plus proche de m et maintenant on va supposer le contraire de ce qu'on veut c'est à dire qu'on va supposer que le segment am n'est pas perpendiculaire à thé et on va essayer d'en déduire une contradiction donc on suppose que la droite m adoncques m&a et la droite tu es ne sont pas perpendiculaire ne sont pas tandis qu l'air donc on est dans une situation qui est celle ci j'ai une droite t ici m à l'extérieur de ma droite et puis le point à quai le plus proche suppose que c'est le plus proche de m mais je suppose que le segment m1 n'est pas perpendiculaire à la droite et ce qui veut dire qu'on va être dans une situation qui est comme ça ici c'est le point à et cet angle qui est ici cet angle là eh bien il est différent de 90 degrés voilà ça c'est vraiment le principe d'un raisonnement par l'absurde on suppose que nos conditions sont les mêmes donc on a un point m qui n'est pas sur la droite et le point acquis et le point de thé le plus proche mais on suppose le contraire de notre conclusion donc ici on suppose que m année pas perpendiculaire à thé alors dans cette configuration là si l'ag pas un angle droit ce que je peux faire c'est de toute façon tracer un triangle rectangle en fait tracer la perpendiculaire à thé qui passe par m donc je vais la faire ici enfin je vais faire juste un segment voilà qui est ici et donc là j'ai un angle droit ici donc tu vois que en fait j'ai un triangle rectangle je peux appeler la ce sommet du triangle b si tu veux pour que ce soit plus clair et donc j'ai un triangle rectangle donc je sais que l'égalité de pythagore et vérifier dans ce triangle qu'est rectangle en paix alors cette égalité de pythagore dans ce triangle rectangle à je peux l'écrire comme ça c'est l'hypothénuse élevée au carré donc m a élevée au carré qui est égale à la somme des carrés des deux autres côté donc ici j'ai le côté ab élevée au carré plus le côté mb élevée au carré alors qu'est ce que ça veut dire c'est ici à bo carré bon si j'ai un triangle comme ici qui n'est pas un triangle aplatit et bien à b o car est différente 0 donc emma au carré est plus grand que bo carré et donc m&a est plus grand que mb autrement dit si tu veux de toute façon en un triangle rectangle m à c l'hypoténuse et l'hypoténuse c'est forcément le plus grand côté donc ici ce qu'on peut en déduire c'est que m à et plus grand que mb mais ça ça voudrait dire finalement que le point b plus proche de m et ça contredit une hypothèse qu'on a fait ici c'est que a et le point de thé le plus proche de m donc on obtient ici une contradiction contradiction puisque on est partis de l'idée que a été le point le plus proche de n est que le segment m a été n'était pas perpendiculaire et dans ce cas là on a découvert un point b qui étaient plus proches de m que le point bas donc voilà ça c'est vraiment un raisonnement par l'absurde est ce qu'on peut en déduire c'est que si elle est le point le plus de thé le plus proche du point m alors les droites m a été sont perpendiculaires donc maintenant je reviens un petit peu là haut on est arrivé au bout de nos peines puisque on a démontré que a été le point de la droite et de la tangente le plus proche du centre du cercle et puis on a démontré que puisque à et le point de la tangente le plus proche de haut est bien le segment haut à et forcément perpendiculaire à la droite et donc notre conclusion c'est celle à laquelle on voulait arriver c'est que ici il y à un angle droit