Démonstration du théorème de la bissectrice

donc dans cette vidéo et bien je vais te montrer le théorème des bissectrice donc ici on a un triangle abc et je vais tracé la bissectrice de l'angle b ici donc la bissectrice ça va être la droite qui va couper l'angle en deux angles égaux donc ici cet angle là va être égal à cet angle là et je vais appeler le point d'intersection de la bissectrice avait cassé je vais l'appeler dès donc ici on à l'angle à bd qui est égal à l'angle des baissés et le théorème des bissectrice donc le théorème le théorème des bissectrice donc le théorème des bissectrice nous dit que la longueur ab sur ad va être égal au rapport des longueurs baissé sur cd donc c'est à dire que cette longueur là ab ici donc je vais de la notte de la même couleur ici pour bien que tu vois la caisse est donc ab sur ad donc adc7 longueur ici voilà est égal à baisser donc baisser cette longueur la du triangle sur cd donc c'est des cdc d ici voilà que je vais m en magenta donc on a à b sur ad qui sera égal à baisser sur cetet et là tu vas me dire oui mais pourquoi et bien c'est ça que je vais te montrer ici je vais te le démontrer et c'est pas une démonstration qui est vraiment évidente donc en fait tu t'inquiètes pas si tu la comprends pas d'un seul coup prend le temps pour revoir cette vidéo il ya aucun problème est donc la première chose qu'on va faire pour démontrer ce théorème des bissectrice c'est qu'on va construire une nouvelle droite on va construire la droite parallèle à ab et qui passe par c'est donc je vais construire cette droite là donc c'est une droite qui est parallèle à ab et qui passent par cette voie là et je vais prolonger la bissectrice de l'angle b jusqu'à son intersection avec ma nouvelle droite ici et je vais appeler le point d'intersection ici je vais l'appeler f voilà donc ici je suis dans une situation où j'ai une droite ici la droite bf qui coupent deux droites parallèles la droite ab donc que je vais prolonger un peu pour que tu plus claire et la droite fc c'est à dire que je suis dans une situation comme celle ci on en couches et deux droites parallèles comme ça et j'ai une droite qui coupent ces deux droites parallèles hills et il ya quelque chose que tu sais à propos des angles dans des cas comme ça donc en propos de ses angles là très exactement eh bien tu sais qu'on appelle ça des angles alterne interne et tu sais surtout que ses angles là sont égaux donc si on revient à notre cas ici eh bien ça veut dire qu'en fait cet angle alors je vais le noter ici en rose cet angle ici cet angle bfc va être égal à l'angle ici à l'angle ab f ou à bédée donc ces angles-là son ego est ce que je sais c'est que la bissectrice couple englober en deux angles ego c'est à dire que l'angle à bd est égal à l'angle des baissés donc c'est à dire que c'est aussi égal à cet angle ici donc peut-être que je vais marquer un petit peu ce que j'ai fait la première chose que j'ai faite c'est que j'ai construit une droite parallèle allant à la droite ab c'est à dire la droite fc2 ça j'en ai déduit que l'angle des f et était égal à l'angle à b d a b d et donc j'en ai déduit que ça c'était égale aussi à l'angle des baies cdb c'est donc là cette égalité la gelée eu parce que c'est ton des ongs alterne interne alterne interne voilà et c'était égalité la gelée obtenu par la bissectrice qui coupent bep en deux angles égaux donc la bissectrice de l'angle b donc moi manger ça et si je considère ici le triangle bcf et bien dans ce triangle là et bien ce que je vois c'est que donc l'angle fbc est égal à l'angle bfc d'accord donc c'est un triangle isocèle et donc qui dit triangle isocèle dit qu'il a deux angles et go c'est ce qu'on a mais aussi deux côtés ego de côté et go donc le côté baissé est égal au côté fc donc ici j'ai bcf isocèle et donc j'ai baissé est égal à fc b c est égal à f cell donc voilà pour ce triangle ici donc ça c'est intéressant mais on n'a toujours pas en fait ce qu'on voulait montrer ici mais on va y venir ne t'inquiète pas alors on peut voir que ici cet angle là est identique à cet angle ici et qu'est ce que ça nous dit et bien regardons un petit peu ensemble regardons le triangle à bd et le triangle fdc on vient de montrer que l'angle adb est égal à l'angle fdc donc ce sont les angles que j'ai mis en bleu ici on a montré avant que angle bfc est égal à l'angle ab f c'est l'angle que j'ai mis en rose ici donc ces deux triangles donc ces deux triangles celui-ci d'accord et celui ci d'accord on deux angles identique donc ça veut dire que leur troisième emblée d'identiques et donc qu'est ce que ça veut dire pour ces triangles ça veut dire que ces triangles sont semblables et qu'ils ont tous leurs angles égaux donc à b d le triangle à bd est semblable au triangle ici ccfd voilà et donc là on a presque fini en fait puisque on sait que donc les les triangles à bd et cfd sont semblables et donc dans les triangles semblables on sait qu'il y a une relation entre les rapports des longueurs des triangles qui est ici dans notre cas ab sur ad qui va être égal à cf sur cd sur ces des mois donc si j'ai simplement fait donc ab sur rade est d'accord et là j'ai fait la même chose cf sur cd hisse donc quand tu marques en fait c'est égalité là pour dire que deux triangles sont semblables fait bien attention à ordonner les sommets donc les lettres majuscules d'accord de la même manière pour les deux triangles c'est à dire que l'angle à doit être égale à l'angle c'est ici l'englobé doit être égale à l'angle est fissile angle d doit être égale la langue des forcément là ici et ça va t'aider après pour justement pouvoir établir cette égalité là sur le rapport des longueurs revenons au théorème des bissectrice et bien en fait je viens de montré précédemment j'ai montré quelque chose d'important j'ai montré que bf est égal à fc issy donc en fait qu'est-ce que ça ne me dit ça me dit que ici je sais que cf est égal à baisser et ça y est j'ai montré exactement ça je me retrouve exactement la même égalité donc la manière dont j'ai démontré ce théorème c'est qu'en fait il a fallu que je construise un autre triangle ici qui était semblable à un triangle que j'avais déjà dans ma figure pour pouvoir établir cette égalité là