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Cours : Géométrie niveau 2 > Chapitre 1 

Leçon 5: Les symétries axiales dans le plan repéré
Mathématiques
Géométrie niveau 2
Appliquer une transformation
Les symétries axiales dans le plan repéré
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Construire l'image d'une figure par une symétrie axiale

Google Classroom
Comment construire l'image d'une figure dans une symétrie axiale.
Dans cette leçon on va voir comment construire les images de différentes figures par des symétries par rapport à des droites qui sont soit des droites parallèles aux axes du quadrillage soit des droites passant par les diagonales du quadrillage.

L'axe de la symétrie

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage le long de cette droite. Cette droite s'appelle l'axe de la symétrie.
Dans une symétrie par rapport à une droite, l'axe de la symétrie est la médiatrice des segments d'extrémités un point et son symétrique.

1 - Construire le symétrique d'un point

Cas d'une symétrie par rapport à une droite parallèle à l'axe des x.

Comment construire le symétrique A′ du point A par rapport à la droite tracée en pointillés ?
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A horizontal line passes through four on the y axis. A point A is at negative six, seven.

Réponse

Étape 1 : On trace la perpendiculaire à l'axe de la symétrie passant par A.
Cette droite coupe l'axe de la symétrie au point I.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A horizontal line passes through four on the y axis. A point A is at negative six, seven. A ray extends from the point A three units to the dashed line.
Étape 2 : On place le symétrique de façon à ce que le point I soit le milieu du segment d'extrémités le point et son symétrique. C'est à dire que le symétrique du point se trouve sur la droite bleue de l'autre côté de l'axe et à la même distance de l'axe que le point de départ.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A horizontal line passes through four on the y axis. A point A is at negative six, seven. A ray extends from the point A three units to the dashed line. The ray passes the dashed line three more units.
La réponse : Le symétrique du point A est le point A′. Le point A a pour coordonnées (−6 ;7) et A′ a pour coordonnées (−6 ;1).
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A horizontal line passes through four on the y axis. A point A is at negative six, seven. A ray extends from the point A three units to the dashed line. The ray passes the dashed line three more units pointing at the image of a point A prime at negative six, one.

A vous !

Exercice

Placer le symétrique du point B par rapport à la droite tracée en pointillés.

Un dernier exercice

Quelles sont les coordonnées du symétrique du point de coordonnées (−25;−33) par rapport à l'axe des x? ( Vous pouvez sauter cet exercice si vous ne connaissez pas les coordonnées négatives.)
(
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
 ; 
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)

Cas d'une symétrie par rapport à une droite passant par une diagonale d'un carreau du quadrillage.

Comment construire le symétrique du point C par rapport à la droite tracée en pointillés ?
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants down from left to right passing through zero, one and one, zero. A point C is at negative two, nine.

Réponse

Étape 1: On trace la droite perpendiculaire à l'axe de la symétrie passant par C.
La droite qui est l'axe de la symétrie passe par une diagonale d'un carreau, donc la droite qui lui est perpendiculaire passera par l'autre diagonale d'un carreau. En effet les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
On a tracé en bleu la droite perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par le point C. Elle coupe cet axe en un point I.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants down from left to right passing through zero, one and one, zero. A point C is at negative two, nine. A ray extends from point C three diagonals to the dashed line.
Étape 2 : On place le symétrique de façon à ce que le point I soit le milieu du segment d'extrémités le point et son symétrique. C'est à dire que le symétrique du point se trouve sur la droite bleue de l'autre côté de l'axe et à la même distance de l'axe que le point de départ.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants down from left to right passing through zero, one and one, zero. A point C is at negative two, nine. A ray extends from point C three diagonals to the dashed line. The ray passes the dashed line and extends another three diagonals.
Réponse : Le symétrique du point C est le point C′. C a pour coordonnées (−2 ;9) et C′ a pour coordonnées (−8 ;3).
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants down from left to right passing through zero, one and one, zero. A point C is at negative two, nine. A ray extends from point C three diagonals to the dashed line. The ray passes the dashed line and extends another three diagonals pointing at the image point C prime at negative eight, three.

A vous !

Exercice

Placer le symétrique du point D par rapport à la droite tracée en pointillés.

Un dernier exercice

Quelles sont les coordonnées du point symétrique du point A de coordonnées (−12 ;12) par rapport à la diagonale du premier quadrant du repère ?( Vous pouvez sauter cet exercice si vous ne connaissez pas les coordonnées négatives.)
(
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
 ; 
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi
)

2 - Construire le symétrique d'une polygone

Un exemple

Comment construire le symétrique du rectangle EFGH par rapport à la droite tracée en pointillés ?
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants up from left to right passing through zero, negative five and five, zero. A rectangle with the points E F G and H. Point E is at negative three, three, Point F is at five, three, Point G is at five, negative three. Point H is at negative three, negative three.

Réponse

Comme pour les autres transformations, pour construire l'image d'un polygone par une symétrie axiale, il faut d'abord construire les symétriques de chacun de ses sommets.
On a construit les points E′,F′,G′,H′ qui sont les symétriques de chacun des sommets du rectangle.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants up from left to right passing through zero, negative five and five, zero. Point E is at negative three, three, Point F is at five, three, Point G is at five, negative three. Point H is at negative three, negative three. A ray extends from point E through the dashed line to point E prime at eight, negative eight. A ray extends from point F through the dashed line to point F prime at eight, zero. A ray extends from point G through the dashed line to point G prime at two, zero. A ray extends from point H through the dashed line to point H prime at two, negative eight.
Il suffit maintenant de tracer les segments [E′F′], [F′G′], [G′H′] et [H′E′].
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. A dashed line slants up from left to right passing through zero, negative five and five, zero. Point E is at negative three, three, Point F is at five, three, Point G is at five, negative three. Point H is at negative three, negative three. A ray extends from point E through the dashed line to point E prime at eight, negative eight. A ray extends from point F through the dashed line to point F prime at eight, zero. A ray extends from point G through the dashed line to point G prime at two, zero. A ray extends from point H through the dashed line to point H prime at two, negative eight. E prime, F prime, G prime, and H prime form the image of a rectangle.

A vous !

Exercice 1

Déplacer les segments verts de façon à obtenir le symétrique du segment [IJ] et celui du segment [KL] par rapport à la droite tracée en pointillés.

Exercice 2

Tracer le symétrique du triangle MNO par rapport à la droite tracée en pointillés.

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