Retour sur les définitions des relations trigonométriques dans le triangle rectangle et leurs applications.

Les définitions des relations trigonométriques

sin(A^)=\large\sin(\widehat A)=opposeˊhypotnuseeˊ\large\dfrac{\blueD{\text{opposé}}}{\goldD{\text{hypoténuse}}}
cos(A^)=\large\cos(\widehat A)=adjacenthypotnuseeˊ\large\dfrac{\purpleC{\text{adjacent}}}{\goldD{\text{hypoténuse}}}
tan(A^)=\large\tan(\widehat A)=opposeˊadjacent\large\dfrac{\blueD{\text{opposé}}}{\purpleC{\text{adjacent}}}

1 - Calculer la longueur d'un côté

Si on connaît l'un des angles aigus d'un triangle rectangle et la longueur d'un côté de l'angle droit ou celle de l'hypoténuse, les relations trigonométriques permettent de calculer les autres longueurs. Pour mémoire, voici par exemple, comment calculer la longueur du côté [AC][AC] dans ce triangle :
On connaît l'angle B^\widehat B et l’hypotnuseeˊ\goldD{\text{l'hypoténuse}}. On cherche la longueur du côté opposeˊ\blueD{\text{opposé}} à l'angle B^\widehat B. La relation trigonométrique à utiliser est le sinus.
sin(B^)=ACABsin(40)=AC7B^=40,AB=77×sin(40)=AC\begin{aligned} \sin(\widehat B)&=\dfrac{\blueD{AC}}{\goldD{AB}} \\\\ \sin(40^\circ)&=\dfrac{AC}{7}\quad\gray{\widehat B=40^\circ, AB=7} \\\\ 7\times\sin(40^\circ)&=AC \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
AC=7×sin(40)4,5AC=7\times\sin(40^\circ)\approx 4{,}5
Exercice 1.1
BC=BC=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}

Donner sa longueur arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calculer la mesure d'un angle

Si on connaît la longueur de l'un des côtés de l'angle droit et celle de l'hypoténuse, les relations trigonométriques permettent de calculer la mesure de l'un des angles aigus. Pour mémoire, voici par exemple, comment calculer la mesure de l'angle A^\widehat A dans ce triangle :
On connaît la longueur du côté adjacent\purpleC{\text{adjacent}} à l'angle que l'on cherche et celle de l’hypotnuseeˊ\goldD{\text{l'hypoténuse}}, donc Il faut utiliser le cosinus.
cos(A^)=ACABcos(A^)=68AC=6,AB=8A^=Arccos(68)\begin{aligned} \cos(\widehat A)&=\dfrac{\purpleC{AC}}{\goldD{AB}} \\\\ \cos(\widehat A)&=\dfrac{6}{8}\quad\gray{AC=6, AB=8} \\\\ \widehat A&=\operatorname {Arccos}\left(\dfrac{6}{8}\right) \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A^=Arccos(68)41,41\widehat A=\operatorname {Arccos}\left(\dfrac{6}{8}\right) \approx 41{,}41^\circ
Exercice 2.1
A^=\widehat A=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
^\circ
Donner sa mesure arrondie au centième.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Utiliser les relations trigonométriques dans exercice concret

Exercice 3.1
Henri conçoit un manège avec des sièges volants. Les chaînes qui relient les sièges au mât ont une longueur de 55 mètres, et en pleine rotation du manège elles s'inclinent d'un angle de 2929^\circ. Henri souhaite qu'en pleine rotation les sièges se trouvent à 2,752{,}75 mètres du sol
Quelle doit être la hauteur du mât du manège ?
Arrondir la réponse au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 66
  • une fraction simplifiée telle que 3/53/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/47/4
  • un nombre fractionnaire, comme 1 3/41\ 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,750{,}75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi12\ \text{pi} ou 2/3 pi2/3\ \text{pi}
mètres

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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