Pour vérifier si vous avez compris et mémorisé.

La loi des sinus

asin(α)=bsin(β)=csin(γ)\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}

Le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

c2=a2+b22abcos(γ)c^2=a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)

1 - Utiliser la loi des sinus

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer ACAC dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, ABsin(C^)=ACsin(B^)\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}=\dfrac{AC}{\sin(\widehat B)}. On obtient :
ABsin(C^)=ACsin(B^)5sin(33)=ACsin(67)5sin(67)sin(33)=AC8,45AC\begin{aligned} \dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}&=\dfrac{AC}{\sin(\widehat B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{AC}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=AC \\\\ 8{,}45&\approx AC \end{aligned}

Exemple 2 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle A^\widehat A dans ce triangle :
D'après la loi des sinus, BCsin(A^)=ABsin(C^)\dfrac{BC}{\sin(\widehat A)}=\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)}. On obtient :
BCsin(A^)=ABsin(C^)11sin(A^)=5sin(25)11sin(25)=5sin(A^)11sin(25)5=sin(A^)\begin{aligned} \dfrac{BC}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{AB}{\sin(\widehat C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\widehat A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\widehat A) \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
A^=sin1(11sin(25)5)68,4\widehat A=\sin^{-1}\left(\dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}\right)\approx 68{,}4^\circ
Attention, ne pas oublier que si l'angle est obtus, sa mesure est la différence entre 180180^\circ et la valeur donnée par la calculatrice.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Utiliser le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus)

On utilise cette formule pour calculer soit un angle, soit la longueur d'un côté.

Exemple 1 : Calcul de la mesure d'un angle

Soit à calculer la mesure de l'angle B^\widehat B dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
AC2=AB2+BC22AB×BCcos(B^)AC^2=AB^2+BC^2-2AB×BC\cos(\widehat B)
On obtient :
52=102+622×10×6cos(B^)25=100+36120cos(B^)120cos(B^)=111cos(B^)=111120\begin{aligned} 5^2&=10^2+6^2-2×10×6\cos(\widehat B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\widehat B) \\\\ 120\cos(\widehat B)&=111 \\\\ \cos(\widehat B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
A la calculatrice, on obtient :
B^=cos1(111120)22,33\widehat B=\cos^{-1}\left(\dfrac{111}{120}\right)\approx 22{,}33^\circ

Exemple 2 : Calcul de la longueur d'un côté

Soit à calculer ABAB dans ce triangle :
D'après le théorème d’Al-Kashi :
AB2=AC2+BC22AC×BCcos(C^)AB^2=AC^2+BC^2-2AC×BC\cos(\widehat C)
On obtient :
AB2=52+1622×5×16cos(61)AB2=25+256160cos(61)AB=281160cos(61)AB14,3\begin{aligned} AB^2&=5^2+16^2-2×5×16\cos(61^\circ) \\\\ AB^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ AB&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ AB&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Des exercices concrets

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Chargement