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Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, je vais vous présenter les bases de la trigonométrie. Ca semble compliqué, mais il s'agit tout simplement de l'étude des rapports des côtés d'un triangle. Le préfixe "trig" de trigonométrie signifie littéralement triangle et le suffixe "métrie" signifie mesure. Je vais prendre un exemple. Je pense que cela rendra tout plus clair. Je vais d'abord dessiner un triangle rectangle. Voici un triangle rectangle. Il est rectangle parce que un de ses angles fait 90°. Cet angle est un angle droit. Cet angle vaut 90°. On verra la mesure des angles dans d'autres vidéos Donc nous avons un angle de 90 degrés. C'est un triangle rectangle. J'écris la longueur des côtés. Par exemple 3 pour cette hauteur. Mettons 4 pour la base. Et 5 pour l'hypoténuse de ce triangle. On parle d'hypoténuse uniquement pour un triangle rectangle. C'est le côté opposé à l'angle droit et le plus long côté d'un triangle rectangle. Donc ici nous avons l'hypoténuse. Vous avez sûrement déjà appris ça en géométrie. Vous pouvez vérifier que les longueurs des côtés sont correctes : D'après le théorème de Pythagore, 3 au carré plus 4 au carré doit être égal à la longueur de l'hypoténuse au carré. L'hypoténuse au carré vaut 5 au carré, donc vous pouvez vérifier que ça marche, que ces longueurs vérifient bien le théorème de Pythagore. Maintenant, passons à la trigonométrie. Voyons les fonctions de base de la trigonométrie. Voyons plus en détail ce que signifient ces fonctions. On a la fonction sinus, la fonction cosinus, et la fonction tangente. On utilise les abréviations sin, cos et tan. Quels que soient les angles de ce triangle, ces fonctions précisent le rapport de certains côtés. Je vais écrire une formule mnémotechnique, pour vous aider à vous souvenir de ces fonctions. J'écris "soh cah toa". Ce raccourci est très utile en trigonométrie. Voici ce que "soh cah toa" nous apprend. "soh" nous dit que "sinus" est égal à opposé sur hypoténuse Pour l'instant, ça n'est pas très clair mais cela va le devenir dans une seconde. Cosinus est égal à adjacent sur hypoténuse. Et enfin, la tangente, tangente est égale à opposé sur adjacent. Vous vous dites, "mais de quoi il parle ?" C'est quoi "opposé", "hypoténuse", "adjacent" ? Alors prenons un angle. Nous pouvons appeler cet angle thêta, entre le côté de longueur 4 et le côté de longueur 5, voici thêta. Calculons le sinus de thêta, son cosinus et sa tangente. Commençons avec le sinus de thêta. On se souvient de "soh cah toa" : sinus égale opposé sur hypoténuse Quel est le côté opposé à l'angle ? Notre angle est ici. Le côté opposé à thêta, celui qui est le plus loin, le côté opposé vaut 3, l'angle s'ouvre vers ce 3, donc le côté opposé est 3. Et maintenant que vaut l'hypoténuse ? Facile, l'hypoténuse vaut 5. Donc cela fait 3 sur 5 Le sinus de thêta vaut 3/5. Si on vous demande le sinus de cet angle vous pouvez dire que c'est 3/5. Quand on a cet angle-là entre deux côtés, l'angle thêta, alors son sinus fait toujours 3/5. Le rapport du côté opposé sur l'hypoténuse est toujours le même même si le triangle est plus grand ou plus petit. Je vais vous montrer ça dans une seconde. Voyons les autres fonctions trigonométriques. Quel est le cosinus de thêta. Cosinus égale adjacent sur hypoténuse. Je vais les écrire sur le dessin. On a déjà dit que 3 était le côté opposé. Voici le côté opposé, mais seulement pour cet angle-ci. C'est le côté opposé de cet angle-ci. Et toujours pour cet angle, ce côté de longueur 4 est le côté adjacent, c'est un des côtés qui forment cette intersection. Donc voici le côté adjacent. Encore une fois attention, c'est vrai seulement pour cet angle. Si nous parlions de cet angle, alors le côté vert serait l'opposé, et ce côté jaune serait l'adjacent. Mais pour l'instant nous nous intéressons à cet angle-là. Donc cosinus de cet angle... le côté adjacent vaut 4 adjacent sur hypoténuse, adjacent égale 4, sur hypoténuse, 4 sur 5 Maintenant on peut calculer la tangente. Tangente de thêta : opposé sur adjacent L'opposé vaut 3. Que vaut le côté adjacent ? On le connaît, le côté adjacent vaut 4 Donc connaissant les côtés de ce triangle rectangle, on a pu déterminer les trois principaux rapports trigonométriques. Il y a d'autres rapports trigonométriques mais ils peuvent tous être déterminés à partir de ces trois fonctions de base. Maintenant, regardons un autre angle de ce triangle. Je vais le redessiner, il est un peu trop chargé. Je vais redessiner exactement le même triangle. Donc, encore une fois, les longueurs de ce triangle sont... on a une longueur de 4 ici, une longueur de 3 ici, et une longueur 5 ici. Pour l'exemple précédent, on a utilisé thêta Prenons maintenant un autre angle. Ici, et appelons-le... je vais prendre une lettre grecque au hasard. Mettons psi. Je sais, c'est un peu bizarre. On utilise thêta d'habitude, mais je l'ai déjà pris. Ou plutôt, je simplifie, on va appeler cet angle x. Calculons les fonctions trigo pour cet angle x. Que vaut le sinus de x ? Sinus égale opposé sur hypoténuse Quel est le côté opposé à x ? L'angle s'ouvre sur le côté de longueur 4. Ceci est maintenant le côté opposé. Le côté vert était adjacent pour thêta, mais c'est le côté opposé pour x. Sinus x est donc 4 sur l'hypoténuse. L'hypoténuse ne change pas. C'est toujours le plus grand côté. Elle vaut toujours 5. Le sinus vaut 4/5. Calculons maintenant le cosinus de x. Cosinus est le côté adjacent sur l'hypoténuse. Quel est le côté adjacent à x ? Voici l'hypoténuse, et voilà le côté de longueur 3. L'angle est formé par le côté adjacent et l'hypoténuse. Adjacent égale 3. On le divise par l'hypoténuse, qui vaut 5. Calculons enfin la tangente de x. La tangente est le côté opposé sur le côté adjacent. "soh cah toa" : opposé sur adjacent. Le côté opposé est 4... Je vais le faire en bleu. Le côté opposé est 4, le côté adjacent est 3. Et voilà. La vidéo suivante donne plein d'autres exemples, pour vous faire bien comprendre. Mais je vous laisse réfléchir à ce qui se passe lorsqu'un de ces angles approche de 90°, ou même dépasse 90°. Les fonctions trigonométriques définies par "soh cah toa" sont bien pratiques pour les angles entre 0 et 90° (c-à-d inférieurs à 90°). Mais elles ne conviennent pas quand on passe ces limites. Alors nous allons présenter une nouvelle définition, une généralisation de "soh cah toa", qui permet de trouver le sinus, le cosinus et la tangente de n'importe quel angle.