Le foyer et la directrice d'une parabole - Savoirs et savoir-faire

Le cours et deux exercices d'application.

Le foyer et la directrice d'une parabole

Une parabole est la courbe représentative d'une fonction du second degré, mais c'est aussi l'ensemble des points situés à égale distance d'un point fixe -son foyer- et d'une droite -sa directrice.

La vidéo.

Établir l'équation d'une parabole connaissant son foyer et sa directrice

Soit la parabole

P

de foyer

F (- 2; 5)

et de directrice la droite

D

d'équation

y = 3.

d

est la distance du point

M (x; y)

au point

F

d^{'}

sa distance à la droite

D

, alors

M (x; y) \in P

équivaut à

d = d^{'}

En utilisant la formule de la distance , on obtient que

d = \sqrt{(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2}}

, et que

d^{'} = \sqrt{(y - 3)^{2}}

. Donc

M (x; y) \in P

équivaut à :

\begin{aligned} \sqrt{(y - 3)^{2}} & = \sqrt{(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2}} \\ (y - 3)^{2} & = (x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} \\ y^{2} - 6 y + 9 & = (x + 2)^{2} + y^{2} - 10 y + 25 \\ - 6 y + 10 y & = (x + 2)^{2} + 25 - 9 \\ 4 y & = (x + 2)^{2} + 16 \\ y & = \frac{(x + 2)^{2}}{4} + 4 \end{aligned}

La vidéo.

À vous !

Exercice 1

Etablir une équation de la parabole de foyer $F (6; - 4)$ ‍ et de directrice la droite $D$ ‍ d'équation $y = - 7$ ‍.

y =

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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