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Calcul intégral

Cours : Calcul intégral > Chapitre 1 

Leçon 7: Utiliser la courbe représentative de f pour démontrer une propriété de l'une de ses primitives
Mathématiques
Calcul intégral
Intégration
Utiliser la courbe représentative de f pour démontrer une propriété de l'une de ses primitives
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Utiliser la courbe représentative de f pour démontrer une propriété de l'une de ses primitives

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Comment justifier qu'une primitive de la fonction f a telle ou telle propriété si on connaît la courbe de cette fonction f.
On sait que l'on peut déduire certaines propriétés d'une fonction f de l'étude de sa dérivée. Si F est une primitive de f, alors f est la dérivée de F, donc on peut déduire certaines propriétés de F de l'étude de f.

Raisonner sur une fonction g telle que g, prime, equals, f si on connaît la courbe représentative de f

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction f :
Function f is graphed. The x-axis goes from negative 2 to 14. The graph is a U-shaped curve opening downward. The curve starts in quadrant 3, moves upward through (0, 0) to a relative maximum at (5, 5), moves downward through (10, 0), and ends in quadrant 4.
Soit g, colon, x, ↦, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t. g est une primitive de f et g, prime, equals, f. On peut déduire des propriétés de la fonction g de la courbe de f.
Par exemple, f est positive sur l’intervalle open bracket, 0, comma, 10, close bracket, donc g est croissante sur cet intervalle.
The graph of function f has the region of the curve above the x-axis, between x-intercepts 0 and 10, labeled f is positive and g is increasing.
f s'annule en changeant de signe en 10, donc le point d'abscisse 10 est un extremum de la fonction g. Comme f est positive pour les valeurs de x inférieures à 10 et négative pour les valeurs de x supérieures à 10, cet extremum est un maximum.
The graph of function f has the x-intercept at 10 labeled "g has a relative max". The 2 regions of the curve below the x-axis, to the left of x-intercept 0 and to the right of x-intercept 10, are labeled "f is negative, g is decreasing".
On peut aussi en déduire quelle est la concavité de la fonction g. f est croissante sur l'intervalle open bracket, minus, 2, comma, 5, close bracket, donc g est convexe sur cet intervalle. f est décroissante sur l'intervalle open bracket, 5, comma, 13, close bracket, donc g est concave sur cet intervalle. g change de concavité en 5, donc le point d'abscisse 5 est un point d'inflexion.
The graph of function f has the relative maximum labeled g has an inflection point. The region of the curve to the left of this maximum is labeled f is increasing, g is concave up. The region of the curve to the right of the maximum is labeled f is decreasing, g is concave down.
Exercice 1
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que g est convexe sur l'intervalle close bracket, 5, comma, 10, open bracket est :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que le point d'abscisse 8 est un minimum de la fonction g est :
Choisissez une seule réponse :

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
Attention à ne pas confondre une propriété de la fonction avec celle de l'une de ses primitives. Par exemple, il ne faut pas faire la faute de dire que telle primitive de f est positive car la fonction f est croissante ; en l'occurrence c'est l'inverse : la primitive de f est croissante car la fonction f est positive.
Voici un tableau récapitulatif :
Si la fonction f ...Sa primitive g, colon, x, ↦, integral, start subscript, a, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t ...
est positive plusest croissante\nearrow
est négative minusest décroissante\searrow
est croissante \nearrowest convexe \cup
est décroissante \searrowest concave \cap
s’annule en changeant de signea un extremum
a un extremuma un point d'inflexion
Un dernier exercice
Soit la courbe représentative de la fonction f.
g est la fonction définie par g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, x, end superscript, f, left parenthesis, t, right parenthesis, d, t.
La propriété de la fonction f qui permet de justifier que g est positive sur l'intervalle open bracket, 7, comma, 12, close bracket est :
Choisissez une seule réponse :

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