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Intégrale et aire sous une courbe

Une intégrale définie est égale à l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. On introduit ici la notation d'une intégrale et étudions quelques exemples.

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Transcription de la vidéo

bonjour dans ça d'une manière un petit peu informelle ce qu'on appelle une intégrale définit une intégrale défini voire plus tard que les intégrales défini avec les primitives les intégrales indéfinie et les dérivés et bien ce sont les piliers de l'analyse vraiment et mon l'intégrale défini et le pilier du calcul intégral et on verra dans les prochaines vidéos dans toutes les vidéos qui suivent comment toutes ces notions dont je viens de te parler intégral défini indéfini primitive et dérivés sont liées entre elles et ça d'une manière presque magique et très belle alors comme il s'agit d' analyse bien sûr on va parler de fonction donc ce que je vais faire c'est déjà tracé la courbe représentatif d'une fonction donc je vais me mettre dans un repaire voilà je le choisis orthonormé ici lax dx lax d y ici et puis l'origine haut et je vais tracé la courbe représentatif d'une fonction donc n'importe laquelle voilà je trace ici une courbe représentative qui est celle disons d'une certaine fonction f donc c'est la courbe d'équations y égale f 2 x voilà alors ce dont on va parler dans cette vidéo ce dont on parle quand on parle de d'intégrale défini et bien en fait ça concerne le calcul de l'air qui est sous une courbe alors pour être un peu plus précis que ça en fait je vais donc considérer une portion de plans qui est situé sous cette courbe là au dessus de l'axé des abscisses et puis entre deux bornes alors je vais ici matérialiser deux bornes pour qu'on y voit un peu plus clair voilà je prend un point à sur l'axé des abscisses et puis je vais tracé la droite d'équations x égal à donc en fait seulement ce segment là qui sous la courbe et puis je vais prendre une autre valeur b plus grande que a ici et je vais tracé là aussi un segment une partie de la droite d'équations x et galp et et maintenant ce à quoi on va s'intéresser dans cette vidéo c'est à l'ère de la portion de plans qui est comprise ici sous la courbe d'équations y égaler fdx donc sous la courbe représentative de notre fonction f au dessus de l'axé des abscisses et entre ces deux bornes là donc les droites d'équations x égal à et x et galbées en clair ce qui nous intéresse c'est l'ère de cette portion de plan là que je hachures ici en jaune alors les intégrales défini vont nous permettre de calculer ses airs là et là tu peux te rendre compte déjà rien qu'en entendant ça de la puissance du calcul intégral donc de ces intégrales défini parce qu'en général c'est quand même pas évident de calculer l'air d'une partie du plan ou pour laquelle une des frontières n'est pas un segment de droite donc juste une courbe et tu verras même par la suite que l'on peut parvenir à calculer l'air de portions de plans donc plusieurs contours sont des courbes plutôt que des segments de droite donc voilà déjà ça ça te permet de voir là l'intérêt de ce calcul intégral de ces intégrales défini et en fait tu vas voir que ces terres là l'air de cette portion de plans donc eh bien on la note de cette façon là c'est l'intégrale défini je le note comme ça avec un espèce de est très allongé entre la valeur à qui est la borne inférieure de notre intervalle d'intégration ici donc de a jusqu à la dernière valeur la borne je vais la mettre en violet ici la borne b donc c'est l'intégrale défini de a à b et puisqu'on calcul l'air de cette portion de planquer sous la courbe de la fonction s est bien on va noter ça comme ça intégrale de saab b2f 2x et puis il va falloir multiplier par un certain dx alors dans les prochaines vidéos tu verras que cette notation va prendre tout son sens pour l'instant elle est un petit peu mystérieuse mais elle prendra tout son sens par la suite et notamment le dx qui est ici prendre à son sens quand on parlera de somme de riemann ce qu'on fera dans d'autres vidéos on verra aussi que finalement ce dx et ce symbole là en fait proviennent de calcul de limites et tu verras en fait que ce symbole la sse s allonger correspond en fait un cas limite du symbole de somme sigma que tu connais déjà en tout cas on reviendra bien sûr dans le détail dans les prochaines vidéos sur tous ceux dont on vient de parler ici là ce qui était important c'est que tu comprennes que l'ère de cette courbe qui est là qu est donc situé sous la courbe des équations y égale f 2 x est au dessus de l'axé des abscisses entre ces deux droite laïque segal a et x et galp et on la note comme ça intégrale de a à b de f2 xtx et ça c'est ce qu'on appelle une intégrale défini