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Une intégrale dont les deux bornes dépendent de x

Comment appliquer le théorème fondamental de l'analyse lorsque les deux bornes d'intégration dépendent de x. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

ok on regarde on si on peut calculer l'intégrale mais enfin si on peut dériver par dont la fonction f 2 x qui est égal à l'intégrale entre le ixe et xe carré de cosinus t sur t d'été bon là ça ressemble à une application du théorème fondamental de l'analyse le problème c'est que dans théorème de la vente à une fondamentale de l'analyse je suis habitué à avoir ma variable x sur la borne supérieure de l'intégrale et pas sur la borne inférieure et la gema variable os x dans les deux bornes de l'intégrale et ça me pose une problème de dérivation pour dériver la fonction telle qu'elle est donc je vais devoir user d'un petit subterfuge pour essayer de transformer l'expression de fait cette fonction cette fonction caussinus était sûreté que je vais appeler eve de thé pour pouvoir dérivés en me servant du théorème fondamental de l'analyse je vais faire un petit dessin là je trace mon un repère la kz2 y lax dect et je trace une fonction y est ghallef 2d qui est pas du tout inquiets pas nécessairement caussinus t / t1 qui et n'importe quelle fonction c'est juste pour me faire une idée de ce qui va se passer d'accord je trace une fonction f de thé et je prends une borne d'intégration disons mais je vais prendre les mêmes je prends x comme borne inférieure d'intégration et je prends x au carré comme borne supérieure d'intégration donc là je place x au plan d'intégration ici et la borne supérieure d'intégration cx au carré que j'ai placé à la droite de x x au carré et pas forcément plus grand que x mais ça c'est juste pour nous on fait juste un dessin pour nous faire une idée voilà et en fait quand on calcule intégrale entre le ixe et xe carré de cette fonction f 2 t et bien on calcule l'air sous la courbe c'est à dire l'herbe que je vous assure ici voilà est l'idée qui va nous débloquer la situation c'est d'introduire une constante c'est de prendre un nombre entre le xe et le x car et un nombre que j'ai appelé c'est qu'il va être une constante et de dire que mon air sous la courbe en fait on peut la décomposer en deux r1 l'air qui est à gauche et que je hachures en violet nerfs qui est à droite et que je h sur anvers et de dire que l'air sous la courbe que me donne cette intégrale c'est tout simplement la somme de l'air violette et de l'air verte alors calculons écrivons ça comment s'écrit l'air violette et mahler violette cette intégrale c'est l'intégrale entre eux x et c'est de notre fonction bien ici on va reprendre la fonction caussinus des sûretés d'été qui est pas celle que j'ai dessiné mais ça c'est pas grave hein c'est le même principe plus et on va rajouter l'ère de la fonte et l'air que j'ai assuré en verre c'est à dire celle intégral c'est-à-dire qui part cette fois de ses et qui arrive jusqu'à x carré de la même fonction caussinus des sûretés d'été et on s'aperçoit que ces deux intégrales sont des fonctions de x que nous savons dérivés on a fait des dérivés comme ceux ci dans les vidéos précédentes la l'intégrale qui est à gauche 1 les bornes la borne au x et en bas mais je sais très bien que je peux la remettra en eau en changeant le signe et l'intégrale qui est à droite elle se dérives comme une fonction proposée donc faisons le l'intégrale violette c'est l'opposé c'est - l'intégrale entre cx de cosinus t sur t d t1 j'enterre verte' les bornes en changeant le signe on a vu une salle dans une vidéo précédente et l'intégrale à droite un ce jeu laisse pour l'instant intégral entre cx carré de cosinus t sur t mais je sais que je peux dérivés ça comme une fonction composé à la fonction composé de l'intégrale entre cx et de la fonction x d'onyx carré d'accord et donc ces deux choses là on sait les dérivés et on va dériver grand f 2 x dont quelques primes de x est égale à la dérive et de l'intégrale violette c'est à dire moins le signe moins qu'on avait et ça d'après le premier théorème fondamental de l'analyse ça pour dériver qu'aussi musique sur x voilà déjà une bonne chose de faite voilà ensuite plus intégrale qui est en verre et donc la sas dérives comme une fonction qu'on pose est comment dérives tant la fonction composé ben on dérive la fonction extérieur au point x car et c'est à dire caussinus x carrés sur x carrés et est ensuite il faut multiplier par la dérivée de la fonction interne c'est-à-dire par la dérive et 2x carrés qui vaut 2 x et voila voila tout simplement comme on calcule cette dérive est maintenant il nous reste plus qu à simplifier cette expression donc simplifions cette expression moins que si musique sur x on laisse là on peut dans l'est dans la partie qui est en verre on peut simplifier les x et ça nous donne de cosinus 6/4 et sur x et si on veut additionner sous le même dénominateur on obtient tout simplement deux caussinus 2x carré - caussinus 2x et le tout sur x et voilà