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Intégrale d'une fonction sur un intervalle et aire sous la courbe

Les intégrales définies sont les aires, comptées algébriquement, de portions de plan situées sous la courbe représentative d'une fonction et au-dessus de l'axe des abscisses. Dans certains cas, on peut donc calculer une intégrale définie en utilisant les formules de géométrie élémentaire !

Transcription de la vidéo

on nous demande de calculer les intégrales suivante c4 intégral qui sont là en utilisant la courbe représentative qui est tracée ici qu'est la courbe représentatives de la fonction f donc c'est la courbe d'équations y égale f 2 x qui est tracée ici alors la première intégrale c'est l'intégrale de -6 à -2 2 f 2 x 2 x donc mais la vidéo sur pause essaye de calculer cette intégrale et puis on se retrouve alors cette intégrale là par définition c'est l'ère de la portion de plans qui est situé sous la courbe de la fonction f au dessus de l'axé des abscisses entre les valeurs moins 6 et -2 donc en fait ici cette intégrale là elle correspond à l'air de cette partie du plan ici que je rassure en rose et donc cette surface que je viens de hachures est ici et bien c'est un demi disque donc on peut assez facilement calculer son air en utilisant de connaissance de géométrie on a un disque ici qui est de centre ce point ci de rayon deux unités donc et donc son ère l'ère de ce disque un disque de rayon 2c pie x 2 au carré ici on n'a pas un disque entier on a juste un 2010 donc on va diviser par deux donc ça fait pie x 4 dans quatre pays divisé par deux sa fait 2 pi voilà pour la première intégrale c'est ça maintenant mais la vidéo sur pause essaye de calculer la deuxième on inspire à un petit peu de ce qu'on vient de faire et puis on se retrouve alors ici on à l'intégrale de -2 à 1 de f2 xtx cette intégrale là elle correspondrait en fait à l'ère de la portion de plans qui est situé sous la courbe au dessus de l'axé des abscisses entre les valeurs moins 2 et 1 alors la valeur - 2 elle est ici c'est celle là la valeur 1 elle est là c'est celle ci est donc on serait tenté de calculer l'air de cette portion de plan ici alors il faut faire quand même un petit peu attention parce que ici ce qu'on a en fait c'est pas la portion de plans qui est situé sous la courbe est au dessus de l'axé des abscisses mais c'est l'opposé en fait c'est l'ère de la portion planqué sous l'axé des abscisses et au dessus de la courbe donc là il faut faire attention on va avoir un signe moins est ce qu'on peut faire du coup c'est quand même calculé l'air de cette surface qui est ici et puis prendre sont opposés c'est pour ça que j'ai mis un signe - ici alors bon voilà on a un trapèze ici donc on va pouvoir calculer son air c'est la grande base plus la petite base x la hauteur est divisé par deux donc ici on a alors je vais l'écrire comme ça la grande base c'est 3 plus la petite base qui est un multipliée par deux quelle hauteur ici et le tout divisé par deux donc finalement ça fait moins 4 x 2 / 2 donc moins 4 voilà alors à toi de jouer pour calculer la troisième intégral l'intégrale de 1 à 4 de f2 xd x donc ici on va intégrer entre cette valeur là hein et cette valeur là 4 ce qui revient en fait à calculer l'ère de la portion de plans qui est sous la courbe au dessus de l'axé des abscisses entre ces deux valeurs là donc c'est exactement l'air de tout ce triangle là voilà alors c'est un triangle qui a pour base un deux trois unités et pour hauteur 4 donc un oui 1 2 3 4 dont claire de ce triangle et bien c'est trois fois quatre divisé par deux et donc trois fois quatre ça fait 12 / de ça fait 6 alors il nous reste la dernière on va le faire tout de suite l'intégrale de 4 à 6 donc de ce point là à ce point-là de la fonction f2 xd x donc là on est dans la même situation que tout à l'heure pour la 2eme intégral ici la courbe est sous l'axé des abscisses donc on va effectivement calculé l'air de cette portion plan qui est ici mais on va prendre sont opposés puisque cette intégrale l'aclr de la portion de planquer comprise sous la courbe est au dessus de l'axé des abscisses alors que ici on à l'opposé alors du coup je vais avoir un signe - ici et puis ça c'est un demi disque de rayons un don plaire d'un disque de rayon 1c pie x 1 au carré et comme j'ai un 2010 que je vais divisé par deux donc finalement ce que j'obtiens c'est moins pie x un sur deux donc moins pis sur deux