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Leçon 17: Intégration par parties

Intégration par parties - Savoirs et savoir-faire

Ce qu'il faut retenir.

Qu'est-ce que l'intégration par parties ?

C'est une méthode qui permet dans certains cas de trouver une primitive du produit de deux fonctions. Voici la formule :

\int u (x) v^{'} (x) d x = u (x) v (x) - \int u^{'} (x) v (x) d x

ou encore

\int u d v = u v - \int v d u

Démonstration : Si

u

v

sont deux fonctions dérivables, d'après la formule de dérivation du produit de deux fonctions :

(u v)^{'} = u^{'} v + v^{'} u

, donc

u^{'} v = (u v)^{'} - v^{'} u

. D'après la linéarité des primitives, primitive de

u^{'} v

= primitive de

(u v)^{'} -

primitive de

v^{'} u

et primitive de

u^{'} v

u v -

primitive de

v^{'} u

Une vidéo.

Soit à calculer

\int x \cos x d x

. On pose

u = x

d v = \cos (x) d x

\int x \cos (x) d x = \int u d v

u = x

donc

d u = d x

d v = \cos (x) d x

donc

v = \sin (x)

On applique la formule :

\begin{aligned} \int x \times \cos (x) d x & = \int u d v \\ = u \times v - \int v d u \\ = x \times \sin (x) - \int \sin (x) d x \\ = x \times \sin (x) + \cos (x) + C \end{aligned}

N’oubliez pas que vous pouvez toujours vérifier vos calculs en dérivant le résultat obtenu !

Exercice 1.1

\int x e^{5 x} d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Soit à calculer

\int_{0}^{5} x e^{- x} d x

. On pose

u = x

d v = e^{- x} d x

u = x

donc

d u = d x

d v = e^{- x} d x

donc

v = - e^{- x}

On applique la formule :

\begin{aligned} \int_{0}^{5} x e^{- x} d x \\ = \int_{0}^{5} u d v \\ = [u v]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} v d u \\ = [- x e^{- x}]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} - e^{- x} d x \\ = [- x e^{- x} - e^{- x}]_{0}^{5} \\ = [- e^{- x} (x + 1)]_{0}^{5} \\ = - e^{- 5} (6) + e^{0} (1) \\ = - 6 e^{- 5} + 1 \end{aligned}

Exercice 2.1

\int_{1}^{e} x^{3} \ln x d x = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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