Primitives de exp(x)cosx

ok on l'a la formule de l'intégration par parti que je t'ai rappeler la tout en haut de l'écran et on va s'en servir pour trouver les primitives de la fonction qui a x associe un puissant 6 caussinus x de cette fonction réelle et bien évidemment donc on va le faire en intégrant par partie et donc pour trouver les primitives d'une fonction va on prend l'intégrale entre ce que je veux et x donc là on va prendre typiquement entre 0 et x puisque ce sont des fonctions c'est une fonction qui est défini en 02 impuissance t caussinus tdt et c'est ça qu'on va essayer d'intégrer par partie et là on se dit ben pour intégrer par parti qu'est ce que qu'est-ce que à qui je vais donner le rôle de f à qui je vais donner le rôle de g en fait f c'est une fonction dont on aimerait que la dérive et soient plus simples et j'ai une fonction dans la primitive et pas vraiment beaucoup plus compliqué et là quand je regarde de puissance t et caussinus t eh bien je vois que pour aucune d'entre eux la dérive et n'est vraiment plus simple et pour aucune d'entre eux l'a dit la primitive n'est plus qu'on paie plus compliqué puisque puissance t c'est sa propre dérive et sa propre primitive et caussinus cocon dérive on comprenne la primitive ça va prendre le sinus ça va devenir un ça va devenir insinue soins - sinus donc en fait la clé c'est de ces danses que je viens de dire ce que je viens de dire impliquant fait est absolument aucune importance comprennent f ce qu'on prend pour est fou c'est ce qu'on prend pour geprim ça va nous donner à peu près le même le même résultat de l'intégration par partie donc par exemple je fais mon petit tableau avec rff prime j'ai et j'ai prime comme je fais d'habitude quand j'ai intégré par partie et on va dire que par exemple f 2 tc e puissance t et geprim de tessé caussinus t et dans ces cas là bas on applique la formule de l'intégration par parti ça va me donner de puissance des sinus tc rêve de tg 2 t à prendre entre 0 et x - l'intégrale entre 0 ax entre 0 et x de f prime g c'est-à-dire 2e puissance t sinus tdt à la calculant le crochet donc évalué entre 0 et x quand je remplace t paris x nous donne depuis 106 qui sinue 6 et quand je remplace t par zéro comme le sinus de 0 c zéro ça nous donnerait ça nous donne zéro donc je l'écris pas et je recopie - l'intégrale 2 0 1x de puissance t sinus tdt est on est on a l'air de pas être plus avancés avec cette intégrale 2 0 1x de la puissance des sinus tdt qui n'est pas beaucoup plus facile à calculer que celle qu'on avait au départ eh bien tu vas voir que tout va s'arranger qu'une deuxième intégration par partie donc je vais prendre l'intégrale 2 0 1x de puissance des sinus tdt et je vais écrire le calcul à part pour que ce soit plus clair et je vais intégrer sa part parti aussi et là on va se retrouver face à la même problématique qui avant que prendre pour eve que prendre pour g et on va faire la même réponse qu'avant ça n'a pas grande importance parce que puissance des sinus t ce sont des fonctions qui quand on les dérives ou quand on les intègre un donne à peu près la même chose rien juste un signe qui change pour le sinus mais ça a pas nous changer fondamentalement le calcul d'intégrale donc on va prendre par exemple que f 2 tc e puissance t à ce moment-là f prime doter ce puissant c'est également et on va prendre que j'ai pris me doter ses sinus they come ca g de thé c'est moins que sinus tait et on applique la formule de l'intégration par parti ça nous fait donc à prendre entre 0 et x fdf de tg 2 t c'est à dire moins de puissance t caussinus t et - l'intégrale entre 0 et x2 f prime g c'est-à-dire de puissance tréfois - caussinus t alors le - du moins caussinus t je peux le sortir deux intégrales et ça va me donner donc un plus devant l'intégrale puisque je vais avoir moins - qui va donner plus de vent l'intégrale et voici donc la formule que j'obtiens et je vais faire comme précédemment je vais évaluer le crochet ont entre 0 et x donc quand je remplace t par x dans le crochet ça nous donne moins de puissance x caussinus x et quand je remplace t par zéro dans le crochet de puissance 0 ça fait un écocide 0 ça fait un aussi donc ça nous donne moins 1 et comme c'est moins -1 ça nous fait plus 1 donc moins de puissance yves que si muzzix +1 et est donc moins intégral 2e puissance t que et donc plus par dont l'intégrale de puissance t caussinus tdt là tu peux peut-être commencer à dire mais on tourne en rond on viendrait d'obtenir l'intégrale qu'on avait au départ un et là on peut être désespéré se dire c'est pas comme ça qu'on va y arriver massy c'est comme ça qu'on va y arriver parce qu'en fait la valeur que j'ai obtenu pour la deuxième intégral cette valeur-là là que je suis en train d'encadrer je vais la substituer dans la première formule à la place de l'intégrale donc je vais si tu es tu es à la place de cette intégrale de 0 à 6 g substituer voit la valeur que j'ai trouvé en intégrant par partie à quoi ça rime où ça va nous mener pas tu vas voir donc quand on substitue on retourne à notre premier calcul intégral donc c'est l'intégrale de zéro à x de puissance t caussinus tdt égal à on avait eu puissance x in use x et on doit lui et on doit lui retranché menthe ou le cadre tout ce que je viens dans le cadre est un tout la formule que je viens d'encadrer qu'on a trouvé en intégrant par partie donc on va retrancher moins de puissance cosigné bob 806 caussinus x on va obtenir moins en moins qui donne plus puissants 6 caussinus x on va retrancher le plus un fan ça va nous donner moins un et on va retrancher l'intégrale donc s'adonner - intégral entre 0 et x2 puissance t caussinus tdt hélas j'obtiens une égalité dans laquelle j'ai deux occurrences de la même intégral un chai intégral l'entrejeu héros x de puissance t caussinus t à gauche du signe égal et j'ai exactement la même intégral tout à fait à droite de notes de la formule est là l'idée ça va être de trouver la valeur de cette intégrale en résolvant juste une équation dans laquelle l'inconnu serait cette intégrale une petite équation toute simple donc en fait on va faire passer l'intégrale de l'autre côté du signe égal on va rajouter aux deux membres l'intégrale entre 0 et x2 impuissance t caussinus tdt ray on va obtenir quoi bon va obtenir à gauche du sénégal deux fois l'intégrale entre 0 x2 puissance t caussinus tdt est égal à à droite du signe égal tout sauf ce intégral qu'on avait c'est à dire un puissant 6 in use x plus puissants 6 caussinus x - 1 voilà donc on a deux fois la valeur de cette intégrale et si on veut la valeur de cette intégrale en fait c'est ce qu'on veut depuis le début et dont aga tout divisé par deux divisons tout par deux et nous obtenons que l'intégrale entre 0 et x2 puissance t caussinus tdt est égal à 1,2 me de je divise par 2 donc j'obtiens un demi là je vais mettre le puissant six ans acteur ça va me donner de cygnus x plus que 6 music ce depuis 106 et le 1 va être divisé par 2 donc on obtenir - 1/2 et voilà et voilà une primitive de la fonction conseiller de la fonction puissance x que si nous x on a réussi à trouver une primitive et lorsqu'on a une primitive on les a tout il suffit de faire varier la constante c'est à dire de remplacer le moins un demi par plus c est nous obtenons que les primitives de la fonction qui a x à ce 6e puis 106 caussinus x sont les fonctions de la forme qui a x à ceci un demi de cygnus x + caussinus x1 puissance x plus c'est tu peux très bien dérivés cette fonction et tu trouvera sans problème que l'on retrouve depuis 106 caussinus x