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Les primitives d'une fonction rationnelle

On détermine une primitive d'une fonction rationnelle en décomposant la fonction en une somme de fonctions rationnelles plus simples.

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va essayer de calculer cette intégrale indéfinie l'intégrale 2x moins 5 sur 2 x - 3 x x - 1 donc ça revient chercher une primitive de cette fonction-là alors mais la vidéo sur pause et essaye de le faire de ton côté et puis on se retrouve tu as peut-être essayer de regarder si l'expression qui était au numérateur x -5 et elle a dérivé d'un des deux facteurs du dénominateur et ça c'était une bonne idée parce que dans ce cas là on aurait pu utiliser un changement de variables mais bon c'est pas le cas ici puisque x - 5 mai la dérive et d'aucun des deux facteurs qui est là donc il faut trouver une autre façon de faire est en fait la technique qui va être très très utile ici c'est de décomposer cette fraction rationnelle en deux fractions plus simple est ici on a un dénominateur qui est factoriser donc ce qu'on va faire c'est essayer d'écrire cette fraction là comme une somme de deux fractions dont les dénominateurs sont ce terme là et ce terme-là voilà alors si tu connais pas très bien cette technique c'est vraiment pas une technique de calcul intégral c'est une technique d'algèbre assez classique situé pas au clair là dessus tu peux très bien aller revoir des vidéos sur la khan academy sur ce thème là il y en a beaucoup donc je m'engage à aller les voir en tout cas ce qu'on va faire c'est essayer d'écrire x moins 5 sur 2 x - 3 x x moisins comme une somme de deux fractions voilà donc une première fraction plus une deuxième est le dénominateur de la première fraction ça va être 2x moins 3 et le dénominateur de la deuxième fraction ça sera l'autre facteur ici x - a alors ce qu'on sait quand on fait cette décomposition là c'est que on va obtenir au numérateur de chaque fraction un polynôme dont le degré inférieur de 1 ou 2 gré du numérateur donc ici en fait ce qu'on va obtenir ces des constantes ici donc je vais avoir constante a ici est une constante b là voilà alors maintenant est le but c'est de trouver a et b évidemment et on va tout simplement travailler sur cette expression là et puis procédez par identification donc je vais le faire ici comme ça ça sera plus clair ce que je vais faire donc c'est mettre ces deux fractions au même dénominateur donc je vais avoir ici le dénominateur qui sera 2x moins 3 x x - 1 et donc cette fraction là ça reviendra à multiplier le numérateur et le dénominateur par x 15 ans donc ce que je vais obtenir c'est à x x - ici plus cette fraction la gelée x 2 x men 3 / 2 6 - 3 donc ce que j'obtiens au numérateur cb x 2 x - 3 voilà et maintenant je vais développer cette expression j'ai déjà à x x x x - à x 1 donc moin na plus j'ai développé cette cette expression là maintenant je vais développer la deuxième donc gb x 2 x je vais l'écrire comme ça de bx - 3 x b donc moins 3 b et puis donc le dénominateur de notre fraction c'est 2x moins trois facteurs de x - a voilà alors je vais faire quelques simplifications ici donc je peux réunir les termes en x donc à ceux à x qui est là et puis 2 b x qui est là alors là j'ai donc ax plus de bx avec un facteur commun qui est x je vais le mettre en facteurs et je vais avoir à + 2 b à + 2 b x x ça c'est à x plus de bx et puis ensuite je peux réunir les deux termes qui sont là - à - 3 b donc j'ai - à - 3 b ce que je peux faire c'est factoriser le moins donc je vais l'écrire comme ça - à plus 3 b hélas comme ça j'ai un moins ici c'est tout à fait bien parce que ici aussi j'ai un mois donc voilà la fraction que j'obtiens c'est celle ci je divise tout par 2x moins 3 x x -1 et maintenant si ces deux fractions sont égales elles ont le même dénominateur donc il faut que leur numérateur soit ego aussi et là on peut procéder par identification puisque le coefficient 2 x ici doit être égal à 1 et puis ce terme là et bien c'est le terme constant il doit être égal à celui ci donc là on a un système en fait je vais l'écrire comme ça on a donc à plus de béquilles doit être égal à 1 à + 2 b doit être égal à 1 c'est le coefficient d x et puis le terme constant doit être égale à moins 5 mais ici ça nous donne que à + 3 b doit être égale à 5 voilà alors on va résoudre ce système la première chose qu'on peut dire c'est que du coup à est égal à 1 - 2 b donc je vais remplacer à dans la 2ème équation par 1 - 2 b et j'obtiens 1 - 2 b + 3 b égale 5 alors ça me donne du coup ici je vais avoir un moins de bplus 3b ça fait 1 + b donc un puce bettega la 5 ce qui veut dire que b est égal à 4 voilà ea est égal à 1 - 2 b je l'écris de plus en plus petit parce que j'ai plus beaucoup de places en tout cas maintenant ce que je peux dire c'est que la deuxième équation me dis que b est égal à 4 et la première me dis que a est égal à 1 - 2 b c'est-à-dire 1 - 2 x 4 c'est-à-dire moins 7 voilà donc finalement notre fonction qui est ici x - 5 / 2x moins trois facteurs de x - 1 eh bien je vais pouvoir la décomposer et du coup mon intégral qui est là je vais l'écrire comme ça c'est l'intégrale de assure 2x moins trois c'est-à-dire moins 7 sur 2 x - troyes - 7 sur 2 x - 3 plus b sur x - un bébé est égal à 4 donc + 4 / x - 1 le tout fois dx voit que là on obtient une expression qui est quand même beaucoup plus simple à intégrer je vais même utiliser la linéarité de l'intégrale en fait ça je vais leur écrire comme ça c'est moins cette fois l'intégrale de 1 sur 2 x - 3dx plus quatre fois l'intégrale de 1 sur x - 1 dx on est presque au bout de nos peines ici il faudrait qu'on met la dérive et de 26.3 la dérive et 2x moins trois ces deux donc il faudrait avoir un 2e ici alors évidemment je ne peux pas tout simplement multipliée par deux comme ça puisque ça ça changerait cette expression mais je peux le faire si je divise par deux après donc voilà je divise par deux ici je multiplie par deux la et du coup cette intégrale qui est ici et bien les deux la formule primes de x sur u2 x donc une primitif de cette fonction là et bien c'est logarithme de valeur absolue de 2 6 - 3 voilà plus une constante évidemment et puis ici j'ai un sur x - un donc un et bien la dérive et 2x moins donc là aussi j'ai une expression de la forme une prime de x sur u2 x donc cette intégrale là eh bien c'est logarithme de valeur absolue 2x moins 1 et tu vois qu'on a terminé puisque finalement une primitif de notre fonction x - 5 / 2x moins trois facteurs de x - et bien c'est moins 7 2 me de logarithmes de valeur absolue de 26.3 +4 logarithme de valeur absolue de x - 1 voilà ça c'est donc notre résultat je t'engage si tu veux à vérifier qu'on s'est pas trompé et pour ça bien sûr il suffit de dérivés cette fonction là pour voir si tu obtiens bien x moins 5 sur 2 x - 3 x x - za