Le signe somme Σ (leçon) | Intégration

Le signe somme

\sum

est une notation pour symboliser une somme de termes de la forme

u_{n}

où est un entier naturel.

Le principe

Ce signe somme

\sum

est toujours accompagné de deux valeurs de l'indice $n$ ‍.

Voici un exemple simple :

\begin{aligned} La dernière valeur de n est 3 \\ ↘ \\ \sum_{n = 1}^{3} & 2 n - 1 \\ ↖ \\ ↗ & L’expression de chacun \\ La première valeur de n est 1 & des termes de la somme \end{aligned}

Il s'agit de la somme des termes de la forme

2 n - 1

lorsque

n

prend les valeurs

1

2

3

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} 2 n - 1 = \underset{n = 1}{\underset{⏟}{[2 \times 1 - 1]}} + \underset{n = 2}{\underset{⏟}{[2 \times 2 - 1]}} + \underset{n = 3}{\underset{⏟}{[2 \times 3 - 1]}} = 1 + 3 + 5 = 9 \end{aligned}

On calcule

2 n - 1

n = 1

, si

n = 2

et si

n = 3

et on additionne les trois résultats.

n

est l'indice de sommation.

Exercice 1

\sum_{n = 1}^{4} n^{2} = ?

Il n'est pas obligatoire que la première valeur de

n

soit

1

. Par exemple, voici une somme où la première valeur de

n

est

4

et la dernière

6

\begin{aligned} \sum_{n = 4}^{6} n - 1 = \underset{n = 4}{\underset{⏟}{(4 - 1)}} + \underset{n = 5}{\underset{⏟}{(5 - 1)}} + \underset{n = 6}{\underset{⏟}{(6 - 1)}} = 3 + 4 + 5 = 12 \end{aligned}

Il n'est pas obligatoire que l'indice soit désigné par la lettre

n

. Par exemple, voici une somme où l'indice est désigné par la lettre

i

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{2} 3 i - 5 = \underset{i = 0}{\underset{⏟}{[3 \times 0 - 5]}} + \underset{i = 1}{\underset{⏟}{[3 \times 1 - 5]}} + \underset{i = 2}{\underset{⏟}{[3 \times 2 - 5]}} = - 5 + (- 2) + 1 = - 6 \end{aligned}

Exercice 2

\sum_{k = 3}^{5} k (k + 1) =

Exercice 3

Soit la somme

4 + 25 + 64 + 121

Elle est égale à :

Les termes à additionner sont toujours fonctions de l'indice, mais ils peuvent aussi être fonctions d'une autre variable. Par exemple dans la somme ci-dessous

\sum_{n = 1}^{4} \frac{k}{n + 1}

L'indice est

n

et non

k

. Si on développe cette somme, on obtient :

\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{3} \frac{k}{n + 1} = \frac{k}{1 + 1} + \frac{k}{2 + 1} + \frac{k}{3 + 1} = \frac{k}{2} + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} \end{aligned}

Attention : Il faut bien repérer par quelle lettre est désigné l'indice de sommation.

Exercice 4

\sum_{m = 1}^{4} 8 k - 6 m = ?

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Calcul intégral

Cours : Calcul intégral > Chapitre 1

Le signe somme Σ

Le principe

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