Changement de variable de la forme x = asin θ

ok dans cet exemple nous allons calculer l'intégrale de 0,1 racines de 2,2 pis sur racine de 8 - 2 x carré des x et ça aussi ça va être un changement de variables avec du sinus teta comme précédemment et comme précédemment on se rend compte que ma première vue il n'y a pas trop l'air d'avoir d'y avoir de la trigonométrie là dedans bon après on peut essayer aussi un changement de variables traditionnelle du style u égal 8 - 2 x car et on voit tout de suite que ça marche pas du tout qu'on n'arrive pas à écrire l'intégrale en fonction de uniquement n'y a trouvé une primitive facilement eh bien on a on a sept quand même cet indice du racine de 8 - 2 x carré d'une soustraction avec un x carrés sous la racine c'est quelque chose qui nous dit attention il ya du sinus d'état dans l'air il ya un changement de variables lights in cet état a à faire bon évidemment un tu peux toujours si tu maîtrises les fonctions trigonométriques réciproque tu peux toujours reconnaître la dérivée d'une faute d'une fonction du type arc sinus est en tirer en prenant la primitive bon là si même si tu ne maîtrises pas les fonctions trigonométriques réciproque ça n'est absolument pas grave parce que tu pourras toujours temps tiré en pensant à faire le petit changement de variables que je vais te montrer je vais commencer par des généralités en règle générale dès que tu vois un quelque chose du type à carré - x carré et surtout si c'est sous une racine et bien tu vas penser à faire le changement de variables x égal à foix sinus et à 1 pourquoi parce que x car et ce sera à carrer fois sinus carrick d'état et quand tu vas soustraire tu vas rencontre va reconnaître à carrer fois une identité trigonométriques qui va se transformer en caussinus et qui va simplifier les choses d'accord et là qu'est ce que nous avons un regard dont on n'a pas exactement ça mais on a 8 - 2 x carré 8 - 2 x carrément on peut factoriser le 2 ces deux facteurs de 4 - 6/4 et et 4 20-4 ces deux au carré donc ça peut se réécrire deux facteurs de deux au carré - x carré et donc à l'intérieur de ma parenthèse bien quelque chose du type à carré - 6/4 et dans ce cas là le à vos deux et donc j'ai tout intérêt à essayer de faire le changement de variables x égal 2 sinus de teta voilà à la place de assigny sept étages mais deux sinus de l'état et on va voir en le faisant que effectivement ça ça va nous débloquer la situation encore une fois c'est pas un changement de variables tout à fait traditionnelle comme on a vu dans beaucoup de vidéos précédentes le changement de variables un certain changement de variables un petit peu à l'envers où cette fois je définis x en fonction de la nouvelle variable d'état et je définis pas comme l'avait fait précédemment une nouvelle variable eu en fonction de x d'accord donc on va prendre les choses un petit peu un al'inverse de ce qu'on faisait lorsqu'on faisait le changement de variables a vécu on va dériver on vaches on va considérer x comme une fonction de détails on va dériver la fonction x par rapport à la variable et à 1 et on va écrire comme les physiciens écrivent dx sur dette et à évincer la dérive et de cygnus x et la dérive et de cygnus x et 2 caussinus x d'accord on re multiplie par des états et on n'obtient que des x c'est exactement la même chose que deux caussinus état des états a donc je vais pouvoir lorsque je réaffirme est donc le parce que le but évidemment c'est de réécrire cette intégrale en fonction et à un jeu pourrait remplacer mon dx par deux caussinus tête-à-tête état et on va régler maintenant le problème des bornes dans notre intégrale de l'énoncé x varie de 0 à racine de 2 mais moi comme si je veut réécrire en fonction de l'état je voudrais savoir dans quel intervalle et avaries et pour ça il faut que je renverse la fonction faut que j'exprime teta en fonction 2 x donc on va d'abord exprimé états en fonction de x on se dit que si x est défini comme étant deux signent cet état alors bon on peut passer par x sur deux est égal à signer cet état donc tu es tu as et l'arc sinus 2x sur de teta c'est l'angle dont le sinus vos os x sur deux et c'est ça qu'on appelle l'arc sinus 2x sur deux à condition de dire que tu es tu as est compris entre - puis sur deux épis sur deux parce que dès la fonction sinus et périodiques donc des angles dont le sinus valide sur deux il y en a une infinité donc fusé obligé pour définir l'art sinus tu me restreins d'un intervalle le plus commode possible et l'intervalle auquel on se restreint pour définir l'arc sinus et l'intervalle entre - pis sur deux et puis sur deux donc ça c'est pas pour teta variant entre moins puis sur deux épis sur deux voilà donc tu est assez l'arc sinus depuis sur deux est donc tu est assez l'angle dont le sinus copie sur deux c'est pour ça d'ailleurs qu'on lui donne une lettre qui suggère un angle à une dette grecque et à voilà et bien maintenant conseils que tu es tu as à être l'arc sinus 2x sur deux on va se demander dans quel intervalle varité tam si on prend la borne inférieure de l'intégrale données cx égal 0 et lorsque x égal zéro à toi à quoi est égale teta c'est l'arc sinus 2 0 sur deux est donc c'est l'arc sinus de zéro donc c'est l'angle dans le sinus vos héros et l'angle entre - puis sur deux et puis sur deux dans le sinus vaut 0 c zéro donc la bonne la borne inférieure de l'intégrale en fonction de tes tassera 0 et lorsque x égalera signe de deux fait exactement la même chose tu est assez large sinus 2x sur deux donc c'est l'art sinus de racines de 2 sur 2 c'est donc l'angle qui est rentrer - pis sur deux épis sur deux dont l'arc dont le sinus vos racines de 2 sur 2 1 c'est ça c'est une valeur connu du sinus et cet angle là le seul angle entre - bis sur deux épis sur deux dont le sinus vos racines de 2 sur 2 c'est l'angle de pi sur quatre donc tu état sera pis sur quatre la borne supérieure d'intégration sera pis sur quatre et la gelée pouvoir réécrire mon intégral donc l'intégrale entre 0 et racines de deux te pisse sur racine de 8 - 2 x 2 dx qu'on me donnait va devenir une intégrale entre 0 et pis sur quatre comme on l'a vu et de quoi le ppi qui était au numérateur y va rester en c'est une constante ça change pas sur huit - 2 x carré mais on a dit que le x on allait remplacer par deux cinéastes et a donc racine 2 obtient racines de 8 - 2 x 2 sinus teta le tout aux quarts et c'est bien tout le xx que j'élève au carré et puis il me reste le dx d'un dx c'est écrit c'est écrit sur le côté des x et 2 caussinus tête-à-tête et a donc je complète par deux caussinus tête-à-tête état et voilà j'ai une nouvelle intégrale en fonction d'état qui peut paraître plus compliquée mais dont on sait que grâce aux identités trigonométriques elle va se simplifier déjà on va simplifier un peu les choses en ouvrant les parenthèses sous la racine en et en présentant sa sous une forme un petit peu plus potable donc notre intégral entre 0 et racines de 2 2x sur racine de 8 - 2 x 2 2 pi pardon sur racine de 8 - 2 x 2 dx est également l'intégrale entre 0 et pis sur 4 2 pi sur racine de 8 - et là quand je voulais parenthèse j'obtiens 8 sinus car et état et à l'extérieur de la fraction g2 caussinus tête-à-tête état et je vais continuer à m'occuper de la racine je vais mettre ici racines de 8 ans facteur pour bien faire apparaître l'identité trigonométriques dont je me servir donc l'intégrale de zéro à racine de deux studios hic de pi sur racine de 8 - 2 x car et dx est égal à l'intégrale entre 0 et pis sur 4,2 bien le déjà pour commencer à simplifier les choses le qui se trouve à l'extérieur de la fraction je vais le x pid numérateur ça va être deux pays sur et au dénominateur je vais factoriser par racine de huit donc je vais avoir racines de 8 x la racine 13h54 nu scarlett état et ils meurent et il me reste caussinus stade et état et maintenant la racine de 1 - sinus carette étape je me base sur l'identité trigonométriques bien connu qui dit que caussinus carette étape le sinus karité à égal 1 et je me dis que la racine de 1 - sinus carette état c'est caussinus teta donc cette racine carrée là je vais pouvoir la remplacer par caussinus d'état tu me diras pourquoi pas valeur absolue de cosinus tita parce qu'après tout on n'est pas sûr du cygne ben en fait si on est sur du signe parce que si tu regardes sur le côté on a dit que tu étais varie entre - pis sur deux épis sur deux et cité-etat varie entre - pis sur deux épis sur deux dans ce cas là le cosinus de d'état lui le cosinus de tous les angles entre - puis sur deux épis sur deux il est positif il est entre 0 et 1 donc c'est pas la peine que je mette la valeur absolue cette racine elle vaut bien caussinus l'état et donc mon intégral serait écrit ben je simplifie petit à petit intégrale 2-0 appuyé sur quatre de 20 g man 2 pi au numérateur et au dénominateur le racine de 8 je vais le transformer en deux racines de 2 on sait que sa sphère de racines de deux la racine de 1 - sinus cariste état et on a dit qu'elle devient caussinus d'état et à l'extérieur de la fraction j'ai toujours mon caussinus tête-à-tête état auquel j'ai pas touché depuis tout à l'heure et là il ya plein de choses qui simplifie on peut simplifier les deux au numérateur et le dénominateur on peut simplifier les caussinus teta c'est même pour ça qu'on a fait tout ça on simplifie les caussinus thê thao numérateur et au dénominateur et on va bien voir ce qui va nous rester là dedans il nous reste plus que pi au numérateur et racines de deux au dénominateur un bon alors le racing 2 2 au dénominateur on va leur passer au numérateur on sait que insu racines de 2 c'est la même chose que racine de 2 sur 2 donc notre intégral notre intégral intégral qu'on nous a donnée ben elle va devenir intégral 2-0 api sur 4 2 pi racines de 2 sur 2 des états j'ai transformé le racine de deux numéros au dénominateur pas en racines de 2 sur 2 et où tu sais que ça c'est exactement la même chose et voilà bien gérée intégral quand fait d'une fonction constante de la fonction constante et d'égout qui est égal à py racines de 2 sur 2 emma l'intégrale d'une fonction constante c'est une fonction linéaire on la primitive une primitive d'une fonction constante c'est une fonction linéaire donc ça c'est pas un problème de trouver à primitive il suffit de jeu multiplie par état et donc mon intégral donner un nom intégral l'a20 à puce racines de 2 2 pi sur racine de 8 - 2 x car et dx va être égal à la primitive c'est à dire pie x teta racines de 2 sur 2 à prendre entre 0 et puis sur quatre est maintenant il reste plus qu'à substitut épi sur quatre et à substituer 0 et à faire la différence en faire la différence pas tout à fait puisque on se rend compte que quand on substitue 0 à la place de keita ça fait zéro donc comme la seule chose à faire c'est de substituer puis sur quatre à la place de l'état donc lorsque tu es tu as devient pis sur 4 1 le 4 qui est au dénominateur du pi sur quatre va se retrouver x le 2 qui est au dénominateur demain primitif je vais avoir un dénominateur 8 et je vais avoir un pie x py qui va me donner vie au carré et ça va me donner comme résultat final que mon intégral est égal à puis au carré racines de 2 sur 8