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Exemple d'application du théorème de la majoration du reste d'une série alternée

Transcription de la vidéo

alors on a une série infinie ici et dont le terme général c'est moins impuissance n + 1 sur racine carrée de haine lorsque je vais faire c'est déjà c'est l'écrire en extension pour me rendre un petit peu mieux compte de ce que c'est que cette série alors le premier terme c'est le terme de rang 1 donc on va avoir moins impuissance 1 + 1 c'est-à-dire moins au carré ça donne un sur racine carrée de 1 donc le premier terme c1 ensuite le deuxième terme c'est pour n égale 2 donc on va avoir moins impuissance 3 sur racine carrée de 2 donc moins un sur racine carrée de 2 ensuite le terme suivant le terme de rang 3 eh bien ça sera moins impuissance trois plus un don puissance 4 donc un sur racine carrée de 3 donc ici j'ai plus un sur racine carrée de 3 le terme suivant et bien ça va être tu as compris maintenant je pense - 1 sur racine carrée de 4 et puis ainsi de suite le terme d'après c1 sur racine car est de 5 ans suit - 1 sur racine carrée de 6 et ainsi de suite voilà comme ça ça permet de mieux visualiser cette série alors quand on a une série infinie comme ça évidemment il ya une première question qu'on doit se poser c'est est-ce que cette série convergent autrement dit est-ce que la somme qu'on est en train de faire ne divergent pas vers l'infini ou moins l'infini voilà donc dans ce cas là c'est pas le cas puisque cette série elle vérifie le théorème de convergence pour les séries alterné c'est une série alterné ici donc si tu es pas au clair là dessus je t'engage va retourner voir des vidéos sur la khan academy ou ailleurs sur ce théorème de convergence pour les séries alternée en tout cas ici on sait on va supposer qu'on sait que cette série est convergente et donc elles convergent à une somme que je peux noter s une valeur que je peux noter s est donc ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est pas regarder si cette somme est convergente ou pas mais on va essayer d'en donner une valeur approché alors pour faire ça on sait que on peut passer par des sommes partielles donc je vais écrire que s est bien c est ce qu a donc c'est la somme des cas premier terme de cette série + 1 reste que je vais noter comme ça r2k alors ici cette somme là en général on peut le calculer de manière algébrique puisque c'est une somme d'un nombre infini de termes est ce qu'on va faire donc pour donner une valeur approché de grand s c'est essayer d'évaluer la valeur de ce reste r2k en fait ce qu'on va faire ici c'est essayer de déterminer le plus petit terme cas pour lequel on a valeur absolue de r2 cas plus petit que 0,001 donc inférieur ou égal à 0 01 en valeur absolue et donc une fois qu'on aura déterminé ce plus petit nombre de termes cas pour lequel le reste est inférieur 1 1000e et bien on aura une valeur approché de notre série alors en se souvenant de ce qu'on a fait sur les séries alternée dans d'autres vidéos je t'engage ici à mettre la vidéo sur pause mais essayez toi même de trouver ce plus petit nombre cas tels que la valeur absolue du reste est plus petit que 0,01 alors en supposant que tu as essayé de faire quelque chose je vais le faire maintenant est en fait la première chose c'est d'exprimer r2k de déterminer de ce que représente r2k donc c'est la somme entière la série entière - la somme partielle des 4 premiers termes doncker deux cas je vais m'exprimer comme ça le premier terme c'est le terme de cette série qui a pour grand capucin donc ça va être moins 1 puissance cas plus un plus un donc cac +2 sur racine carrée de cas plus train ça c'est le premier terme ensuite on a le deuxième terme qui est moins 1 puissance cac +3 sur racine carrée de cas +2 jm terme suite on n'a plus le troisième terme qui est moins 1 puissance cas + 4 / racine carrée de cas + 3 et ainsi de suite jusqu'à l'infini alors ce qu'on sait ce qu'on a vu dans d'autres vidéos sur des exemples c'est que dans le cas d'une série alternée ce reste car en fait en valeur absolue il est plus petit que le premier terme donc ici ce qu'on sait c'est que la valeur absolue de ce reste r2k et bien il est inférieur ou égal à la valeur absolue du premier terme donc ici à la valeur absolue de -1 puissance cac +2 sur racine carrée de capucins alors ça si tu veux à la fin de la vidéo je te redonnerait une explication un peu informel de ce fait là mais on a déjà montré dans d'autres vidéos que c'était le cas pour des séries alternée est en tout cas ici c'est ce qui va nous servir puisque du coup si on veut que le reste en valeur absolue soit inférieur à 0,01 donc à un millième et bien ce qu'on peut faire c'est demander que cette valeur à la valeur absolue de ce premier terme soit inférieur à 0,001 alors maintenant on va s'occuper du coût de cette partie là en fait ce qu'on fait quand on élève - 1 à une certaine puissance c'est juste alterner entre -1 et un donc ici en fait on aura au numérateur de toutes façons 1 - 1 donc en valeur absolue on aura toujours un et puis racine carrée de capucins ça c'est un nombre positif donc finalement la valeur absolue de ce terme là et bien c'est un sur racine carrée de capucins et donc notre majoration on l'obtient de cette manière là il faut que 1 sur racine de capucins soit plus petit que 0,01 alors ce que je peux faire ici c'est multiplier par 1000 de chaque côté déjà multiplié par mille de chaque côté puis je vais multiplier aussi par racine carrée de cas plus sain donc ici au numérateur je vais avoir racine carrée de cas plus sains et de l'autre côté je vais multiplier aussi par racine carrée de cas plus il a bon je peux aller un petit peu plus vite si tu veux parce que ça c'est vraiment des manipulations d'inégalités que tu dois pouvoir faire facilement et en fait on obtient du coup que 1000 doit être plus petit que racine carrée de capucins ici maintenant je peux élever le taux au carré on n'a que des nombres positif donc ici ça nous donne que cac +1 doit être supérieur ou égal à milo quarts emile aux caresses a fait un million voilà aucun cas doit être plus grand que 1 millions - 1 c'est-à-dire 999 1999 voilà donc si cas est plus grand que 999 1999 et bien notre reste en valeur absolue sera plus petit que 1 1000e mais bon rappel toi ce qu'on a dit en fait on veut le falher minimal de ce qu'a donc le nombre minimum de termes cas ici tel que notre reste sera inférieure à 1 millième donc ici il faut qu'on prenne la valeur cas égal 999 1999 voilà ça c'est la valeur qu'on doit choisir et donc à ce stade en fait si tu veux estimé donner une valeur approché de s il faut que tu calcules s de cas et ça te donnera une valeur approché avec cette incertitude là puisqu'on à en trouver un encadrement du reste r2k voilà donc on a terminé mais j'aimerais bien quand même qu'on se convainquent un petit peu plus parce que pour l'instant ce qu'on a su poser c'est que le reste en valeur absolue était inférieur à la valeur absolue du premier terme parce qu'on l'avait vu dans d'autres vidéos mais je voudrais qu'on revienne un petit peu là dessus et qu'on s'assure qu'effectivement si on prend km900 99999 on obtient effectivement un res qui en valeur absolue est plus petit que 1 1000e alors si tu veux tu peux mettre la vidéo sur poser et réfléchir de ton côté et puis ensuite on verra ensemble ce que je vais faire c'est commencer par réécrire cette relation là donc on sait que la somme de notre série s elles convergent à une valeur donnée et on va l'écrire comme la somme partiel pour qu'à égale 999 1999 donc s 2 999 1999 plus le reste et le reste je vais l'écrire en extension alors le premier terme eh bien ça va être le millionième terme donc pour qu'à égal 1 million et donc c'est le t1 terme qui sera égal à 1 million +1 donc moins impuissance un million 1 et ça ça fait moins 1 et ensuite on aura racine carrée de 1 million racine carrée de 1 million c'est 1000 donc finalement le premier terme déjà il est négatif c'est moins un sur racine carrée de 1 million donc on a dit moins un sur mille ensuite le deuxième terme de ce reste c'est le millionième un terme pur qu'à égal 1 million 1 donc déjà ça va être au numérateur - impuissance un million deux cent quinze nombre pair donc ici au numérateur on va avoir un et au dénominateur ici je veux avoir racine carrée de 1 million alors ça c'est sans me voilà un million 1 le terme suivant c'est pour qu'à égal 1 million 2 donc on va avoir au numérateur -1 donc c'est comme ça et puis racine carrée de 1 million 2 voilà plus le terme suivant donc qui va être positif c'est un sur racine carrée 2 1 millions 3 - le terme d'après qui sera un sur racine carrée 2,1 millions 4 plus un site on continue de cette manière là et donc la question qui se pose maintenant c'est pourquoi est ce que tout ce reste en valeur absolue est plus petit que la valeur absolue du premier terme bon le premier terme on peut l'exprimer de cette manière la moins un millième c'est moins 0,001 et ensuite ce qu'on peut faire c'est organiser les termes par paire je garde le premier terme ou pour l'instant comme ça et je vais organiser les autres les termes suivants par paires comme ça amel troisième le quatrième et le cinquième et ainsi de suite je les range par paire donc ce qui se passe c'est que ici ce nombre là est plus grand que celui ci ce nombre là est plus grand que celui ci en fait dans chaque parenthèses le premier terme est plus grand que le second donc chaque parenthèse ici contient un nombre positif ça c'est positif ça c'est positif et puis ainsi de suite à l'infini donc en fait ici ce qu'on m'a sait on par 2 - 0 001 si tu veux si tu veux et on ajoute toujours dénombre positif qu'ils sont petits mais à chaque fois on ajoute quelque chose de positif ce qui veut dire que on n'arrivera jamais à une valeur inférieure à - 0 001 puisque en fait on augmente à chaque fois d'une quantité positive maintenant bien sûr pour avoir ce qu'on a dit tout à l'heure il faut aussi vérifier que le reste ne va pas être plus grand que 0,01 alors pour ça ce qu'on peut faire c'est organiser les termes différemment en parenthèses donc voilà georges enlève ces parenthèses en fait ce que je vais faire maintenant ces groupes et les termes de manière différente je vais prendre ses deux premiers terme ensuite je vais mettre les parenthèses comme ça en fait donc ici il faut que tu comprennes que on prend ces deux premiers termes on ajoute ces deux suivants ensuite on ajoute les deux d'après et ainsi de suite voilà or ce qui se passe c'est que ce terme là eh bien il est négatif cette fois ci ce terme-là il est négatif aussi ce terme là il est encore une fois négatif puisque à chaque fois le premier terme de la parenthèse est plus grand que le second donc en fait ici ce que ça nous dit c'est que le reste il est de toute façon négative puisque c'est une somme de termes négatifs donc le reste r2k est négatif quoi qu'il arrive alors on a vu tout à l'heure que il pouvait pas être plus négatif que - 0,001 donc finalement ce que ça nous assure c'est que le reste r2 999 1999 en valeur absolue est plus petit que 0,001