Démonstration de la divergence des séries harmoniques de Nicole Oresme

Ceci est une peinture de Nicole Oresme J'ai vérifié la prononciation phonétique avant de faire cette vidéo Je suppose que ma prononciation est toujours incorrecte D'avance, je m'excuse envers toutes les personnes qui parlent francais D'avance, je m'excuse envers toute les personnes qui parlent francais C'était un célébre philosophe et mathématicien francais Qui a vécu en france médiévale au 14ème siècle Et il est connu pour sa preuve Que la série harmonique diverge Vous pouvez voir ici la série harmonique 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/n + ... Et la première fois que j'ai vu la série harmonique, Et la première fois que j'ai vu la série harmonique, cela ne m'a pas paru évident de savoir si elle convergeait ou divergeait Je veux dire, tout ces termes sont positifs Mais ils s'approchent de zéro donc je pourrais imaginer Que ce truc pourrait converger Mais il a prouvé le contraire Il a établi une des plus célèbres et élégantes preuves mathématiques qu'en effet, elle diverge Et il a fait ça en remplaçant chaque terme de la série harmonique Avec un terme plus petit ou égal. Et en prouvant que sa nouvelle série divergeait et qu'elle était plus petite ou égale à cette série, ou plutôt que chaque terme est plus petit ou égal au terme correspondant ci-dessus, d'après le test par comparaison, la série harmonique doit diverger. Alors, comment a-t-il construit cette chose? Une façon de l'expliquer, c'est qu'il a remplacé tous les termes de la série harmonique avec la plus grande puissance de 1/2, plus petite ou égale que ce terme. Alors, quelle est la plus grande puissance de 1/2 qui est plus petite ou égale à 1 ? Eh bien, 1 est une puissance d'1/2, du coup... (1/2) puissance 0 vaut 1. De ce fait, 1 est la plus grande puissance d'1/2 qui est plus petite ou égale à 1. Je vais écrire le 1 ici Maintenant, quelle est la plus grande puissance de 1/2 Qui est plus petite ou égale à 1/2? ça sera juste 1/2 c'est juste 1/2 puissance 1 Maintenant, quelle est la plus grande puissance de 1/2 Qui est plus petite ou égale à 1/3 ? 1/2 est plus grand que 1/3, pas plus petit. Or il faut que cela soit plus petit que 1/3, du coup la plus petite valeur de n tel que : (1/2)^n <= 1/3, est n = 2. Donc 1/4 est la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 1/3. Je remplace le 1/3 par 1/4 et évidemment, le 1/4 par 1/4 Et maintenant nous avons 1/5 Quelle est la plus grande puissance de 1/2 qui est inférieure ou égal à 1/5 ? De nouveau, 1/4 est plus grand que 1/5 La plus grande puissance de 1/2 qui est plus petite ou égale à 1/5 est 1/8 Du coup, on remplace ça par 1/8. Pour la même raison, on remplace 1/6 par 1/8. On remplace aussi 1/7 par 1/8. Et évidemment pour 1/8... La plus grande puissance de 1/2 qui est inférieure ou égale à 1/8 est 1/8 Et maintenant avec quoi remplacerions-nous 1/9? On remplacerait 1/9 par 1/16. Et tu continuearais jusqu'à atteindre 1/16 Du coup tu auras huit 1/16ème à la suite Qu'y a-t-il d'intéressant ici? Premierèment, vérifions que nous pouvons utiliser le test de comparaison ici. Dans la première série, tous les termes sont non-négatifs. Et dans la deuxième série, tous les termes sont aussi non-négatifs. Et on remarque aussi que chaque terme correspondant Dans la série harmonique est plus grand Ou égal au terme correspondant dans la série que l'on a construite. Nous l'avons construit de cette façon. Ceux-là sont égaux, ceux-là aussi, Celui-ci est plus grand que l'autre car 1/3 est plus grand que 1/4 1/4 est égal à 1/4, 1/5 est plus grand que 1/8, 1/6 est plus grand que 1/8, 1/7 est plus grand que 1/8 1/8 est égal à 1/8 Une façon de le comprendre, c'est que chaque terme correspondant dans cette nouvelle série, est plus petit Appellons-là S Dans cette somme infinie, et évidemment nous continuons toujours et toujours. Je devrais peut être faire ça en magenta. Nous voyons ici que chaque terme correspondant est plus petit au terme ci-dessus Et qu'ils sont tous positifs. Et si nous pouvons prouver que la somme S ici est divergente Par le test de comparaison, la plus grande série (ici, la série harmonique, celle où les termes correspondants sont plus grands), doit aussi diverger Et comment faisons-nous ça? Calculons des sommes ! Ceci sera, je vais l'écrire ci dessous S sera égal à 1 plus 1/2 1/4 + 1/4, c'est quoi? C'est 2/4 ou 1/2 Avez-vous compris ce qu'il se passe? C'est très intéressant Que donne 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 ? C'est 4/8, ou ... 1/2 Que donne 1/16 si on va jusqu'à tout là bas? Jusqu'à ce qu'on aille 8 fois 1/16 ça donnera 8/16 ou 1/2 Puis 16 fois 1/32, soit encore 1/2. Au final nous ajouterons que des 1/2 On commence avec 1 puis on ajoute des demis plus 1/2 + 1/2 + 1/2... Cette serie ne va clairement pas se limiter à un nombre Nous pourrions dire que cette série est "égale" à l'infini. Ou une autre façon de le dire: S clairement diverge. Et puisque chaque terme est plus petit que le terme correspondant dans la série harmonique, nous pouvons dire que la série harmonique diverge. Il est impossible que la série harmonique puisse converger. Chaque terme correspondant est plus petit, on peut même dire que la somme est plus petite, mais cette somme tend vers l'infini, donc celle-là doit aussi tendre vers l'infini. J'espère que vous avez trouvé cela intéressant !