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Développement en série entière de arctan(2x)

On peut écrire la fonction arctan(2x) comme une série de puissance, en développant en série sa dérivée, puis en intégrant cette série. Admettons que c'est un assez joli résultat !

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Transcription de la vidéo

déterminés les quatre premiers termes non nul du développement série entière centre et 11 02 la fonction fdx égale arc tangente de 2 x donc on doit déterminer le développement en séries entières centre et 11 027 fonction arc tangente de 2x et on doit déterminer en fait uniquement les quatre premiers termes non nul alors c'est un développement en séries entières centre et en zéro donc en fait ce qu'on nous demande c'est le développement en série de taylor mc laureen alors situé au clair avec ce type de questions mais la vidéo sur pause et essaye de ton côté ensuite on se retrouve donc en admettant que tu essayais tu as peut-être commencer par essayer de déterminer la dérive est première de fgx et la dérive et de l'arc tangente 2x bien c'est un sur un +6 au carré donc ici on va avoir la dérive et de 2x d'abord donc qui est 2 / un plus 2x au carré donc 2 x au carré je vais l'écrire comme ça c'est 4x au carré voilà donc ça c'est la dérive est première de arc tangente de 2 x c'est déjà une bonne chose si tu as fait ça alors ensuite tu as probablement essayé de calculer la dérivée seconde d'arc tangente de 2x donc la dérive et de cette fonction là et tu t'es probablement rendu compte à ce moment là que ça faisait des calculs quand même assez difficile à mettre en place un calcul vraiment compliqué et sachant surtout que ensuite il va falloir encore dérivés et encore dérivés probablement tu t'es dit mais il ya forcément un truc c'est pas possible je ne peux pas le faire comme ça alors si tu as commencé comme ça et que tu avait abouti à cette conclusion là et bien tu as tout à fait raison effectivement ici il y a un truc il ya quelque chose qu'il faut faire pour se simplifier les calculs et même en fait il y a deux trucs alors le premier c'est de se dire bon bah je vais essayer de développer cette série là plutôt de trouver le développement série entière 113,02 cette fonction l'aef primes et ensuite je pourrai en cherchant et primitive la primitive qu'il faut évidemment déterminer le développement série entière de la fonction arc tangente de 2 x ça c'est très bien c'est une tout à fait ce qu'il faut faire mais si tu as essayé de faire ça tu t'es probablement rendu compte là encore que calculé le développement série entière de cette fonction là mais là aussi c'est pas si simple il ya beaucoup de calcul est donc c'est là où je le propose un deuxième truc qui est en fait de passer non pas par cette fonction là mais par une fonction qui va lui être liée bien sûr mais qui est beaucoup plus simple ici en fait je vais prendre la fonction g2x égal un sur un +6 tout simplement donc c'est en fait on peut l'écrire comme ça c'est une fonction puissance c'est un +6 élevé à la puissance - 1 alors tu vas peut-être me dire mais oui mais nous on a besoin de cette fonction là et pas de celle là donc je vois pas pourquoi tu fais ça laisse-moi progresser un petit peu et tu vas voir tu as certainement comprendre l'intérêt de la chose donc si je veux le développement de taylor mc laurine de cette fonction j'ai je vais devoir calculer les dérivés successives de g alors j'ai primes de x on va le calcul et tu vas voir que c'est assez simple puisque c'est une fonction puissance donc c'est moins 1 facteur 2 1 + 6 puissance moins en moins donc moins deux ensuite j'ai seconde passée la dérive et donc j'ai secondes de xc la dérive et 2g primes de x donc je vais avoir l'exposant qui descend moins 1 fois moins deux ça fait deux facteur 2 1 + 6 puissance - 3 ensuite j'ai la dérive et troisième de jets que je vais écrire comme ça j'ai 3 2 x c'est deux fois moins trois donc moins six facteurs 2 1 + 6 puissance - 4 voilà je vais m'arrêter là puisque on nous demande en fait les quatre premiers terme du développement de arc tangente de 2x donc probablement ça ça va suffire mais bon tu vois que j'aurais pu très facilement continuer à calculer les dérivés successives de cette fonction j'ai c'est très facile et maintenant ce que je vais faire c'est plutôt écrire le développement en série de jets centre et en 0 alors pour ça il faut que je calcule évidemment g20 et puis les valeurs des dérivés successives en zéro donc g20 g20 et bien c'est un sur un + 0 donc c'est un j'ai prime 2 0 c'est moins un facteur de 1 puissance moins deux donc c'est moins 1 ensuite j'ai secondes de zéro seconde 2 0 ces deux facteurs de impuissance -3 donc ces deux et puis enfin g la dérive est troisième de j'ai calculé en 0 et bien c'est moins six facteurs de impuissance -4 donc c'est moins 6 donc je vais pouvoir maintenant écrire le développement en série de jets je vais écrire le début du développement série de jets centré en 0 donc on ad'abord g20 qui est égal à 1 ensuite on ag prime de 0 x x donc moins x ici ensuite on va avoir j'ai secondes de zéro x x au carré / 2 factorielle donc ici en fait ça va nous donner 2 sur 2 x x o car est donc plus x au carré ici et ensuite pour le 4ème terme on va avoir la dérive et 3e calcul heures zéro donc moins 6 / 3 factorielle x x au cube alors 3 factorielle ça fait 6 donc on va voir ici - 6 / 6 x x au cube c'est à dire moins x au cube voilà donc la gemmi un signe égal je vais l'enlever parce que c'est juste le début de mon développement en série 1 donc j'ai 2 x est à peu près égale à ça alors maintenant on en vient au fait pourquoi est-ce que j'ai pris cette fonction là et bien en fait c'est parce que je peux exprimer f primes de x assez facilement à partir de g en fait ici f primes de x ces deux fois 1 + 4 x au carré donc en fait je peux l'écrire comme ça f primes de x fait deux fois j'ai de 4x au carré si tu remplaces maintenant x par 4 x au carré ici tu obtiens dont un sur un + 4 x au carré qui est g de 4x au carré et si tu multiplies par deux tubes tient effectivement f primes de x alors ça c'est très pratique parce que finalement ça va nous donner le développement en séries entières de f primes de x et pour ça il suffit que j'évalue g2x non pas en x mais en 4x au carré et qu'ensuite je multiplie le tout par deux donc finalement f primes de x ça va être environ deux fois g2x calculé en 4x au carré donc j'ai de 4x au carré ce qui s'écrit comme ça c'est un moins 4 x au carré plus 4 x le tout au carré alors ça je peux le simplifier 4 au carré ça fait 16 et xo carrés au carré ça fait x puissance 4 donc en fait ça je vais écrire ça comme ça plus 16x puissance 4 - 4 x au carré le taux élevé au cube alors là comme tout à l'heure 4 élevé à la puissance 3 ça fait 16 x 4 16 x 4 ça fait 64 et x o car est élevé à la puissance 3 ça ça fait x puissance 6 donc ici je vais avoir moins 64 x puissance 6 et donc maintenant je peux distribué le 2 et j'obtiens ce développement en séries entières de f primes de x c'est 2 - 8 x au carré +32 x puissance 4 - 128 x puissance 6 voilà ça ce sont les quatre premiers termes non nul du développement en série de taylor mc laurine centre et en zéro donc de cette fonction f prime alors c'est parce que je voulais effectivement puisque nous on nous demande non pas le développement en série de f prime mail le développement en série de f mais ce que j'ai dit tout à l'heure c'est qu'effectivement je pouvais déterminer le développement en séries entières de f en prenant une primitif du développement aux séries de f primes de x alors c'est ce que je vais faire ici en fait je vais chercher une primitive de cette expression là alors je vais descendre un petit peu et je vais donc prendre une primitive que j'appelle grand f quand eve 2 x primitif de cette expression là du début du développement en série de f prime et pour ça en fait je vais prendre une primitif de chacun des termes et puis bien sûr je vais avoir une constante alors je vais déjà écrire cette constante je l'appelle c'est ensuite je vais ajouter une primitif de deux sas et 2x et une primitif de -8 6 au carré ça va être moins 8,6 au cube divisée par 3 ensuite une primitif de 32 x puissance 4 ça c'est plus 30 2 x puissance 5 / 5 et puis une primitive de 128 x puissance si ce qui est moins 128 x puissance 7 / 7 voilà en fait c'est la forme générale de toutes les primitifs de cette fonction là et comme arc tangente de 2x et bien c'est une primitive de cette expression là en fait je vais pouvoir écrire que arc tangente 2 2x c'est à peu près égale à ses + 2 x - 8 x au cube sur 3 + 32 x puissant cinq sur cinq - 128 x puissance 7 sur 7 le début du développement aux séries entières de arc tangente de 2x et bien sûr il faut encore qu'on détermine la valeur de cette constante c'est un bon je fais une petite parenthèse pour dire que on nous demandait les quatre premiers termes non nul de ce développement là j'ai déjà quatre termes non nul donc il va peut-être falloir que j'en enlève un pour répondre à la question est en tout cas ce qu'on va faire pour l'instant c'est déterminer la valeur de ce c est comme ici on a un développement centré 1 0 ici c'est la valeur de cette fonction-là calculé en 0 donc c'est en fait c arc tangente 2 0 he arc tangente 2 0 et bien c'est égal à zéro donc ici finalement on a un terme nul et ce qu'on obtient ses les quatre premiers termes non nul du développement de taylor mc laurine de la fonction arc tangente de 2 x qui est celui ci voilà donc j'espère que cette vidéo tu as plus et que tu vois finalement d'un problème qui avait l'air très compliqué en terme de calcul au départ on a réussi en utilisant des stratagèmes à résoudre ce problème là assez facilement