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Le développement en série entière de ln(1+x³)

. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors partons de cette série donc là on voit plusieurs termes qui sont le début d'une série a priori un fini puisqu'on et trois petits points de suspension donc ça présume que les termes vont continuer on pourrait continuer à écrire d'autres et donc on peut essayer de trouver une logique pour passer d'un terme à l'autre donc pour passer de 3 x carrés à - 3 x 5 on voit tout de suite que le signe a changé on est passé d'un signe + a ainsi de moins et la puissance de x on a multiplié par x au cube par - ic s'occupe pour faire changer le signer pour passer de ce terme là au suivant on change encore le signe donc là encore on multiplie par - et là encore par ixo cube et pour passer d'ici à ici on multiplie encore par - x au club donc là on voit se dessiner tout ce qu'il faut tous les ingrédients pour avoir en face de nous une série géométriques dont le premier terme et 3x au carré est la raison - x occupe le tout à la puissance n pour écrire ce que c'est que la série n est égal à zéro jusqu'à l'infini et donc cette série géométriques infinie convergent vers quoi ça on le verra après mais elle va converger vers une valeur vers une fonction elle va converger si la raison - x cube ou plutôt sa valeur absolue est inférieur donc on l'a on ça on avait lavé lui dans une des vidéos précédentes donc la valeur absolue de -6 au cube c'est comme la valeur absolue de xo cube puisque la valeur absolue fait disparaître le moins 1 inférieur à 1 et donc ça ça veut dire que x au klube est compris entre -1 et 1 c'est à dire x est compris entre -1 et un aussi alors si on a x qui est compris entre -1 et 1 alors cette série convergent vers quoi eh bien elles convergent vers le premier terme de la série donc 3 x au carré / 1 - la raison c'est à dire - x3 donc le moins - devient plus il reste plus que x3 donc ça fait 3 x carré / un plus xo cubes alors est-ce qu'on s'arrête là on peut mais ce que l'on remarque en regardant cette cette fonction à celle ci c'est que on a l'impression que au dénominateur on a une fonction 1 puis 6 au club et au numérateur on à sa dérive et donc on a un truc un peu qui nous apparaît comme un hub prime sur eu quelque chose comme ça bon on veut en avoir le coeur net parce que si c'est bien une prime sur rue on peut vraiment faire quelque chose et pour en avoir le coeur net on va se lancer dans le calcul et on va faire l'intégrale de ski à à droite et l'intégrale de ski à gauche pourquoi est ce qu'on a le droit de faire ça et bien ici on a une égalité une égalité entre un terme de gauche et un terme de droite et bien en soi une fois quand on a une égalité on peut très bien intégré d'un côté et de l'autre l'égalité ça va conserver l'égalité donc là je vais intégrer j'intègre les deux côtés donc d'abord on va s'occuper de 3x carré / 1 + 6 clips donc l'intégrale de 3x carré / 1 + 6 au kiel on intègre un port l'avait ramené x et donc ça ça va être égal à l'intégrale de la sones la somme qu'on avait dont les premiers termes sont écrits ici donc pour que ce soit plus simple pour nous pour intégrer je vais écrire plutôt les premiers terrains donc 3 x au carré - 3 x puissance 5 + 3 x puissent ensuite moins 3 x puissance et donc j'intègre là encore par rapport à la variable dx donc là j'intègre juste à gauche et à dante alors hop hop hop hop hop celle des petits pointillés d'abord je vais m'occuper ce côté là je vais poser u est égale à la fonction du bas lui est égal à un plus xo cube bah oui parce qu'on avait eu cette intuition la queue en haut on avait la dérive et de ce qu'ils étaient en bas et effectivement ce n'était c'était plutôt une bonne intuition puisque d usure des x c'est-à-dire la dérive et 2u par rapport à la variable os x des usures dx7 égales par définition à une prime de x et c'est égal à 3 x o car est donc d est égal à 3 x au carré dx donc 3 x au carré dx ses débuts et on a eu donc finalement ça revient à calculer l'intégrale de déu sur lui et ça par définition c'est hélène de la valeur absolue de plus une constante c'est un c'est-à-dire hélène de la valeur absolue de u u c'est un plus x au cube plus c1 alors maintenant x cube on a vu qu'on avait x qui valait une valeur entre comprise entre -1 et un donc au pire la plus petite valeur que va pouvoir prendre x est limitée par -1 et là c'est un signe strict donc il ne vaudra même pas moins un c'est à dire que 1 + x au cube sera toujours positif donc on n'a pas besoin de la valeur absolue on peut l'enlever c'est la même chose que hélène 2 1 + x au klube plus c1 alors maintenant on s'attaque à la partie de droite alors l'intégrale de 3x carré des x et bien c'est trois fois x au cube sur trois on voit que les trois vont s'annuler ans 8 mois 3 x x puissance 500 son intégrale cx puissant 6 sur 6 ha primitive ensuite trois expulsions suite ça fait trois fois x puissance 9 sur 9 - 3 x et x puissance aux après midi cx puissance 12 sur deux là encore plus une constante que je vais appeler ses 2 cette fois ci ce que c'est pas la même donc ça c'est égal à quoi la balle et trois se simplifie sa félix au cube - 3/6 ce sera comme un demi donc ça fait x puissance si sûr de plus 3 9e c'est comme un tiers donc ça fait x puissance 9 sur 3 - 3 12e c'est comme un quart et x puissance 12 sur quatre est donc il nous reste le c2 alors donc on se retrouve avec cette intégrale qui était gallas a quitté gaza qui est égal à l'autre intégral qui est égal à ça bon donc là on a bien avancé donc je vais je verrai écrire un là où on en est on en est à dire que hélène donc là je reprends le terme de gauche 1 hélène 2 1 + x au cube plus ses seins elle n 2 1 + x au cube plus c'est un est égal à ixxo cube - 6x sur deux +9 pardon - x puissant si sûr de plus ex-puissance 9 sur trois et que c'était un plus elle est égale à x puissance 3 - x puissance 6 / de plus x puissance 9 sur trois - x puissance 12 sur quatre plus celles déjà tout ce que je peux faire c'est je peux dire que c'est un jeu fait par exemple passé c'est un de ce côté là donc ça fait ces deux mois c'est 1 eh bien ça me donne encore une nouvelle constante que je peux appeler par exemple ces trois s'affaisser 3 + x au klube - x puissance 6 lévis par deux + 6 puissance 9 / 3 - x puissance de zone / 4 bon alors cette constante est ce que je la garde je peux mais je peux aussi remarqué autre chose si x est égal à zéro alors on à hélène 2 1 qui est égal à ses trois plus ça ça fait zéro puisqu'il ya x celui-là aussi celui-là aussi celui-là aussi et les autres aussi donc elle n 2 1 est égal à ces trois c'est-à-dire ln2 un savon 0 0 était bien la c3 bon ben voilà 0 est égale à 6,3 donc en fait c'est roanne a même besoin de garder puisqu'il vaut zéro donc je suis juste à réécrire hélène 2 1 + x au cube est égal à ixxo cube - x puissance 6 sur 2 + x puissance 9 sur trois - x puissance 12 sur quatre alors ça rappelle toi c'est vrai si il faut il faut qu'on se rappelle d'où on est parti on est parti de cette égalité entre une série est une fonction et on a vu qu'il ya cette égalité uniquement si x est compris entre -1 rien ensuite on a gardé cette égalité et on l'a intégré de part et d'autre mais puisqu'on avait l'égalité c'est parce qu'on avait x qui était compris entre -1 et un donc ça on l'a conservée tout au long de nos calculs donc cette égalité il faut surtout pas oublier que elle est conditionnée par x qui doit être compris entre -1 et un est alors maintenant finalement je peux encore écrire plus proprement je peux dire que l n 2 1 + x au cube ces gars là et ça je vais le condensé parce que là il faut pas oublier qu'il ya des là je les ai un peu oublié mais là ya des points de suspension là aussi pourquoi il ya des points de suspension mais parce qu'ils il ya des points de suspension ici aussi c'est les termes rappelle toi c'est les termes de cette série là il ya des points de suspension donc là il apparaît cela ils apparaissent au moment où on intègre et ils restent ici alors qu'est-ce qu'on en fait de ces points de suspension si on arrive à écrire sous la forme d'une somme ils vont être dans la somme alors est-ce qu'on doit pouvoir y arriver ben oui parce qu'on reconnaît un on reconnaît x puissance 3 qui devient ex-puissance 6,6 puissance 9 en fait à chaque fois ce qui se passe c'est qu'il est multiplié par un nombre ici par exemple x puissance 3 c'est la même chose que hills puis sens trois puissances 1 donc on va commencer par n égale 1 x puissance 6 c'est la même chose que x ^ 3 ^ 2x puissance 9 le terme d'après c'est comme si elle était égal à 3 donc en fait c'est parfaitement bien décrit par cette écriture en somme et donc on va aller jusqu'à l'infini donc l'évolution des x puissance est bien défini mais bien bien montrer par cette série par contre le changement de signe là il faut le prendre en compte eh bien ça on va écrire - impuissance alors est ce que c est nous est ce que c est plus un et bien si cn ça veut dire que pour le premier terme n égale 1 on devrait avoir un mois ce qui n'est pas le cas puisqu'il ya un plus donc du coup je décale et j'écris n + 1 est ce que ça marche cette fois ci quand elle est égale à 1 ça fait 1 + 1 2 - 1 le carré ça fait positif et là on a bien un signe plus on va regarder au cran d'après pour n égale 2 ça fait 2 +13 - impuissance 3 ça fait bien moins un est le signe est bien négatif oran n égale donc tout va bien au niveau des signes et tout va bien au niveau des puissances donc cette série infinie on peut la condenser grâce aux signaux sommes écrire ceci est donc là encore on à l'égalité avec hélène 2 1 + x aucune attention seulement 6 x est compris entre -1 et 1