Représenter une fonction par une série géométrique (sur l'intervalle de convergence)

on a vu ensemble dans une vidéo précédente ce que c'était que la série géométriques c'est à dire la somme des termes d'une suite géométriques et on peut additionner les différents termes donc chacun d'entre eux peut être présentée par a multiplié par ar puissance n est donc en ce moment tous ces termes en allant de n égale zéro jusqu'à l'infini on a une série géométriques infinie donc ici je te rappelle juste les premiers terme à plus à m donc pour passer de l'un à l'autre comme c'est une série géométriques sa additionne les termes de la suite je métriques et donc pour passer d'un terrain à l'autre on multiplie par la raison soit air à chaque fois là et donc sous condition que la valeur absolue de r sera strictement inférieure à 1 cette série infinie et convergent vers la valeur a des visées par un - r alors ce r que on appelle la raison on peut aussi très bien le noter x ou peu importe la lettre et jusqu'à présent ce qu'on a fait c'est qu'on est parti de la série et donc on est arrivé sur une fonction l'un dans cette vidéo ce que je veux faire celle inverse je veux partir d'une fonction donc je vais par exemple écrire h2x donc une fonction elle s'appelle pas f s'appelle h h2x était égal à 1 / 3 + 6 au carré par exemple et cette fonction là j'aimerais l'écrire comme une série alors est ce que je peux faire ça oui on va essayer et comment on va faire eh bien on va essayer de partir de cette forme-là 1 sur 3 + 6 cas et d'essayer de se rapprocher de cette forme là sachant que on verra dans ce cas là ce que vaut à est-ce que vos airs le 1 lui par contre pour coller à cette forme là bas il faut qu'il ya un est là pour l'instant il n'y a pas de 1 donc ça ça va être la première étape faire apparaître ici 1-1 au dénominateur alors un moyen c'est de mettre trois ans facteur donc si je mets trois ans facteur eh bien ça va être trois facteurs de 1 donc voilà je fais apparaître un plus x carré 3 et ça c'est la même chose que 1/3 / 1 + x carrés sur trois alors là je suis bien parti je viens de faire apparaître le 1 ici le problème c'est que j'ai pas encore le moins qui est devant le r et bien on va juste forcer un peu la main et on va imposer le 1 alors j'ai écrit donc ça fait un tiers / 1 et là je veux que ce soit 1 - puisque j'impose 1 - mais du coup faut que je remette forcément un autre - derrière - - ça va faire plus donc je vais bien retrouver le plus cayla et donc j'écris x carrés sur trois est donc ces deux expressions sont bien les mêmes alors maintenant juste par identification tu vois que par rapport à cette formule est bien on obtient a été égale à un tiers et air est égal à moins x car et surtout quoi alors du coup comment s'écrit la série bien elle s'écrit toujours la somme pour n allant de zéro jusqu'à l'infini de a donc assez un tiers x rrc - x carrés sur trois puissances n alors je peux décrire les premiers termes quand elle est égale à zéro tout ça ça doit valoir un puisque quoi que ce soit puissance 0 ça vaut un bon qu'il reste un tiers ça c'est le premier terme et ensuite pour trouver le deuxième terme et bien soit je remplace n parent soit je me rappelle de ce que c'est qu'une série géométriques et pour passer d'un terme à l'autre il suffit de multiplier par la raison qui est là où ça va être un tiers x - x carrés sur trois donc ça va faire moins un neuvième x x au carré donc du coup plus - ça fait ça fait moins on est d'accord donc finalement ça fait un tiers moins un neuvième 2 x carré le terme d'après bien c'est moins un neuvième x x x x - x carrés sur trois donc ça à faire plus un 27e fois x puissance 4 puis je pourrais continuer à écrire les ternes laurenan on a là on a la série mais est ce que cette série correspondent bien à la fonction eh bien oui mais à quelles conditions il faut surtout pas que tu oublies ça c'est à la condition que la raison la valeur absolue de la raison soit inférieure à 1 et ici on a vu que la raison c'était moins x carrés sur trois donc ici r est égal à moins x carrés sur trois pour que la série convergent pour que la série convergent vers h2x eh bien on a vu qu'ils font que la raison la valeur absolue de la raison sur la plus petite que c'est à dire ici - en valeur absolue de moins x carrés sur trois soit plus petit que 1 alors qu'est ce que c'est la valeur absolue de - ex carrés sur trois vient déjà la valeur absolue va faire partir le moins donc ça devient valeur absolue le x carrés sur trois inférieure et ensuite un carré un carré c'est positif donc la valeur absolue de xo car et c'est la même chose que x carey et 3 c'est un nombre positif donc il reste 3 donc il faut que x carrés soit inférieure à 1 c'est à dire x car est inférieur à 3 donc là je peux dire que toutes ces inégalités son sont équivalentes et que cette inégalité implique celle là qui implique celle je peux même m ici d d d équivalence complète alors x car est inférieur à 3 si je reprends là haut ça ça veut dire que la racine x pardon est compris entre 3 et -3 et - racines de trois points racine de 3 et - racines de 3 d'accord ce que dans tous les cas une valeur négative va être transformé en valeur positive donc du moment il n'y a pas ici par exemple - racines de 2,6 x est égal à - racines de 2 on est bien d'accord x qu'areva valoir quoi bravo à lord donc il sera bien plus petit que trois d'accord donc l'intervalle c'est x est compris entre racines de 3 et - racines de 3 dans ces conditions-là 6 x est compris entre - racines de 3 et racines de 3 alors on peut écrire que cette série va converger vers la fonction h2x et donc ça je l'écris noir sur blanc ça c'est bien la serre et lacs série convergent vers h2x seulement 6 x est compris entre - racines de 3 et racines 2 3