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Démonstration : encadrer l'erreur (ou le reste) de l'approximation par une série de Taylor

. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vidéo précédente on a commencé de parler de l'erreur quand on fait un développement de taylor c'est à dire qu'on cherche l'approximation de la fonction ici représentée en blanche par par exemple cette fonction représenté en bleu cette fonction bleus c'est la représentation graphique du développement de taylor de la fonction blanche fdx autour du point a alors quand on a parlé de l'erreur par exemple erreur en x et galbées on a défini sa tout simplement comme la valeur absolue de la distance entre la fonction d'approximations et la fonction réelle eve 2 x cette valeur absolue c'est donc l'erreur et ce qui serait très intéressant d'arriver à faire c'est arrivé à borner la valeur de l'erreur c'est à dire a montré que l'erreur en un point x sa valeur absolue est inférieure ou égale à une certaine grandeur car si on arrive à montrer ça ça nous permettra de savoir précisément quelle est l'erreur maximale qu'on est en train de faire quand on utilise l'approximation de taylor quand on utilise le développement sincérité lors de notre fonction alors pour arriver à faire ça on va avoir plusieurs étapes encore à réaliser et tu vas voir qu'on va utiliser les résultats qu'on a vu jusqu'à lors alors pour que les remettre en tête ce qu'on a vu c'est que la dérive et énième de l'erreur en un point a donc c'est à dire c'est pas n'importe quelle valeur de xc en a est égal à zéro quelle que soit la val a dérivé est ce qu on a vu aussi c'est que la dérive et n + 1e de l'erreur en x est égale à la dérive et n plusieurs de la fonction en x donc deux choses très importantes et cette fonction on la connaît a priori et on souhaite en faire une approximation si on connaît cette fonction on connaît aussi la dérive et aisne puis j'aime de la fonction et maintenant ce que je vais te montrer c'est un exemple de ce que peut prendre la valeur de cette dérive yen + 1e entre a et b même si je fais quelque chose de compliqué je peux par exemple montré que la dérive et n + ginieys mais peut très bien par exemple récent à sa taxe entre a et b donc ça là c'est la représentation graphique de la dérive et aime plus 1e de la fonction f1 x et du coup tu vois que si par exemple elle ressemble à ça ben c'est très facile de la borne est elle cette dérive n plus il aime de la fonction sert que n'importe quelle valeur au dessus de ce point là là et bien est une borne c'est à dire que la fonction allait toujours situé en dessous donc c'est à dire que si je te leur ai écrit mathématiquement ça veut dire que la valeur absolue de la dérive et n + 1e de la fonction f1 x est inférieure à m donc ça évidemment ce m ça va dépendre de la fonction en question mais on verra à travers des exemples comment le trouver admettons qu'on les trouvait cette valeur qui borne la dérive et une cuisine de la fonction est bien là on va pouvoir continuer alors là je te précise juste que la valeur de x tu vois que j'ai représenté la dérive et juste entre a et b donc forcément du coup tout ce que je vais faire après il faut bien se rendre compte que c'est vrai seulement 6 x appartient à l'intervalle à b donc les crochets sont fermées ça veut dire que x peut aussi valoir a ou b où tout nombre entre a et d donc finalement pour être précis je dois écrire que la valeur absolue de la dérive et n + 1e de la fonction est inférieure à grand m6 x ce hic cela appartient à l'intervalle alors maintenant qu'est ce que je vais pouvoir faire ce que je te rappelle que le but c'est d'arriver à borner l'erreur et non pas la dérive et n + 1e pour arriver à remonter à la dérive à la fonction f à partir de ses dérivés tu peux peut-être avoir une idée je sais pas la bonne idée en fait c'est d'intégrer donc ce qu'on veut c'est remonter donc partir des dérivés en plus gênés mais remonter vers la fonction donc pour prendre cette direction là il faut intégrer donc je vais intégrer à gauche et à droite cette inégalité donc je vais l'écrire donc j'intègre voilà j'y intègre une première fois donc ça veut dire que je vais calcul intégral de la valeur absolue de la dérive et n plus jeunes aiment de f 1 x est donc je mets des x puisque j'intègre 1 et donc ça c'est plus petit que l'intégrale de mdx alors là il ya l'intégrale de la valeur absolue d'une fonction donc là il va falloir que je fasse un petit aparté parce que ça a priori on sait pas forcément le calculer mais heureusement pour nous on va trouver nous une autre inégalité donc je vais te montrer une inégalité entre eux alors la dérive et n même je vais même pas besoin d'utiliser à dériver on devrait juste utiliser une fonction l'intégrale de fgx et l'intégrale de fdx donc là jusque là c'est la même chose sauf que dans ce cas là je vais mettre la valeur absolue à l'extérieur de l'intégrale et l'âge mais la valeur absolue à l'intérieur autour de la fonction f comme la la valeur absolue il est juste autour de la fonction alors que la valeur absolue les autour de l'intégrale alors est ce que ces deux intégrales sont les mêmes et quand est ce qu elles sont différentes imaginons que sur sur l'intervalle d'intégration puisqu'on intègre le long de l'axé x la fonction f 2 x soit toujours positives par exemple comme ça dans ce cas là ici la f2 x est toujours positive donc l'intégrale de fdx sera positif et prendre la valeur absolue ça restera un homme positif maintenant ici j'intègre la valeur absolue de f2 x c'est-à-dire quand chaque point je prends la valeur absolue de la fonction mais puisqu'elle est positive mais c'est la même chose ça sa valeur absolue et c est elle même donc finalement ça va revenir au même de calculer intégrale de la valeur absolue que l'intégrale tout court donc ça va être l'intégrale de f 2 x 10 x exactement comme la et puis ici rappelle toi je la veux te dire que la valeur absolue ça sert à rien puisque de toute manière intégrale est positif donc si la fonction est tout le temps positive ça a changé ces deux grandeurs sont les même si maintenant la fonction est toujours négative alors qu'est-ce qui se passe je vais intégrer f 2 x 10 x ça va être cette terre-là donc ce sera une aire négative mais derrière je vais prendre la valeur absolue donc ça va la rendre positive ok maintenant comment se calcule cette intégrale là je prends la valeur absolue de la fonction c'est à dire qu'en fait cette fonction là elle va se retrouver symétrique par rapport à l'axé des abscisses au dessus la haie je vais prendre l'air mais en fait c'est la même que celle ci avec un but avec un signe plus donc finalement le résultat final ça va être cet air là avec un signe plus quand je vais faire cette intégrale là mais c'est exactement la même chose que ce côté là donc là encore ces inégalités là où ça va changer c'est quand je vais prendre une fonction qui est à la fois négatives et positives en fonction de la valeur du x par exemple celle là alors qu'est-ce qui change si j'évalue cette intégrale l'a donc d'abord je calcule l'intégrale de f2 xd x donc ça va être cette aire positive plus cet air là qui est négative au final sur cet exemple à l'ag dessinée à peu près les mêmes les mêmes surfaces donc cette aire positive et ses terres négatives sont vont s'annuler vont faire 0 je vais prendre la valeur absolue 0 bassar et 0 qu'est ce qui va se passer de l'autre côté par contre la valeur d'abord il faut que je calcule la valeur absolue de cette fonction verte en fait ça va ressembler à quelque chose comme ça là où elle est positive rs positives et j'y touche pas mais là elle passe négative mais quand je prends la valeur absolue ça devient positif donc ça c'est la valeur absolue de la fonction f maintenant quand je vais l'intégrer ça va me faire cette aire positive + 7 r positive donc ça va être un nombre positif très clairement différente 0 donc du coup cette intégrale est plus grande que celle donc c'est ce qu'il faut retenir voilà plus grande ou égales on a vu qu'elle était égal si la fonction était tout le temps positive où tout le temps négative alors ça me sert de tarare montrer ça eh bien je vais je vais pouvoir sortir la valeur absolue parce que regarde je peux dire que cette intégrale même là mais elle est plus grande que celle ci c'est à dire que la valeur absolue de l'intégrale de la dérive et n + 1e up xd x et je ferme ma valeur absolue donc du coup maintenant je vais prendre les deux extrémités de cette inégalité et je vais les recopier donc finalement ce que j'ai ce que je peux écrire c'est que la valeur absolue de l'intégrale de la fonction f enfin ou plutôt sa dérive et en plus il aime un x est inférieur ou égal à l'intégrale de mdx est là maintenant je peux faire le calcul qu'est ce que c'est l'intégrale de la dérive n + 1e bas c'est la dérive et anime tout simplement tu te rappelles quand tu quand tu dérive tu passes de haine à une plus un mais quand une inter qui passe donne plus à m donc là l'intégrale de la dérive et une cuisine de la fonction c'est la dérive et nm2 la fonction voilà donc ça c'est plus petit ou égal à l'intégrale de mdx am c'est une constante donc ça sort de l'intégrale et l'intégrale de dx cx alors en intégrant cette manière là je fais ce qu'on appelle des intégrales généralisée donc il faut que je rajoute une constante ça tu n'oublies pas donc cette constante je vais l'appeler c'est peu importe donc ça c'est une constante mais il faut que je sache ce qu elle va donc comment je vais faire eh bien il faut trouver une condition parfois on appelle ça une condition aux limites c'est à dire qu'il faut que je j'ai au moins une valeur connu est-ce que j'ai une valeur connu en un point particulier de cette dérive et bah oui j'en ai une et ça tombe bien c'est en a j'ai vu que toutes les dérives et en a de l'erreur val 0 donc je vais évaluer du coup cette dérive et énième en a de la fonction donc on a alors là j'ai oublié quand même de préciser quelque chose on est parti du fait qu'on arrivait entre a et b à borner f haine plus c'est à dire la dérive et n + 1e de la fonction f on est parti de là et ensuite du coup j'ai intégré mais ce que on a vu aussi c'est que la dérive et n plus génial de la fonction c'est la même chose que la diriger en plus il aime de l'erreur donc en fait ici dans ces inégalités là je peux remplacer f par l'erreur ici à dériver n + 1e ici aussi ici aussi la dérive et n plus il aime de fc l'erreur donc en fait quand j'ai intégré ici je peux écrire f mais je peux aussi écrire la dérive et n + vigne aime de l'erreur d'accord est inférieure à m x plus ces voix là est donc là tu l'as tu comprends mieux là je vais me mettre en vente ces gars là est l'erreur enfin la dérive et énième de l'erreur en a est égal à zéro donc je vais me placer en un cas particulier quant à un x égal à la dérive et énième est égal à zéro ça c est ce qu on sait mais c'est aussi égal à m à plus c'est plutôt c'est inférieur ou égal à m à plus c'est donc si je travaille sur cette inégalité 0 est inférieur ou égal à m a plus et je peux écrire que - emma est inférieur ou égal à c alors s'est il intervient dans une inégalité là on veut montrer que la dérive et en plus j énième de l'erreur est inférieure à mx plus c'est donc c'est je vais choisir la valeur la plus petite de ses pour maintenir cette inégalité donc la valeur la plus petite de ses c'est tout simplement quand je mets l'égalité c'est à dire est méga c'est égal - m donc ce que je vais utiliser ces c est égale un bon emma je vais remplacer c'est par moi et m'a donc là dedans ça donne finalement l'erreur la dérive et énième de l'erreur en x est inférieur ou égal à tu te rappelles c'était mme x d'accord ici la plus c'est donc c est égal à moins et m'a donc je vais m - zemma et mx - emma cm facteur 2 x monza ok alors maintenant je suis toujours pas à l'erreur est ce que je peux faire c'est encore intégré donc je l'intègre de nouveau donc là tu commences à comprendre peut-être le concept tu commence à comprendre que je vais intégrer jusqu'à arriver à l'erreur donc intégrer de nouveau là l'aller je vais intégrer les j'avais oublié la valeur absolue autour de l'intégrale un partout donc là c'est la valeur absolue la sellette valeur absolue ça y'a pas de valeur absolue ça c'était vraiment vrai mais là haut up la valeur absolue rien donc j'intègre de nouveau ça va faire l'intégrale de la valeur absolue de la dérive et énième 2x dx est inférieur ou égal à l'intégrale de m x - za dx c'est inférieur ou égal en accord comme tout à l'heure ça je peux montrer que c'est plus grand que la valeur absolue de l'intégrale de l'erreur la dérive énième de l'erreur en x 10 x voilà et ensuite j'ai plus qu'à intégrer donc si j'intègre sa page remonte un cran en termes de dérivés donc ça fait la dérive et n - 1e de l'erreur la dérive et n - 1e de l'erreur un x est inférieure ou égale donc là je vous lis pas les valeurs absolues cette fois est inférieur ou égal à alors qu'est ce que c'est que l'intégrale de mx - za et bien cm x - zaho carrés sur 2m x - zaho carrés sur deux encore une fois plus une constante comment est ce que je vais l'évaluer et bien toujours la même chose toutes les dérives et pour toutes les valeurs de haine toutes les dérives et de l'erreur en a sont égales à zéro c'est ce qu'on avait vu dans la vidéo précédente salle à la dérive et énième de l'erreur en a est égal à zéro ça c'était vrai pour toutes les valeurs de petites haines donc du coup là je vais utiliser or en xc gala donc c'est ce que je vis or en x égal à on sait que l'erreur end - 1e est égal à zéro donc ça veut dire que en x égal à zéro est inférieur ou égal à m fois quoi fois bas à monza ça fait zéro donc m x 0 donc ça fait zéro plus c'est donc c'est tout le temps positif donc s'il est tout le temps positif nous ce qu'on veut pour maintenir l'égalité c'est la valeur la plus petite possible de ces c'est à dire zéro donc ici c'est je peux le baril directement paf ça fait zéro donc maintenant je repars de là je vous parle cette inégalité je peux très bien réintégrer encore de nouveaux et ben je me fais j'intègre de nouveaux bons c'est la dernière fois qu'on va le faire après on va généraliser j'intègre de nouveau ça donne quoi là je vais sauter des étapes d'accord donc tu sais que quand je vais intégrer ça je vais atterrir sur en sautant les étapes la dérive est elle moins 200 x plus petit que quoi et bien que l'intégrale de cette fonction c'est à dire m x x - à au cube divisée par 3 donc ça c'est l'intégrale de x mozac au carré ça fait six mois au club sur trois puis il ya toujours ce choix de kehl à lui il a pas de raison de partir plus une constante pour la même raison qui si c'est à dire que la dérive et n - au deuxième rang à est égal à zéro mais je peux montrer que 0 est plus petit que zéro + c est donc encore une fois la constante c'est vos héros et ce sera vrai pour toutes les autres intégral alors qu'est ce qu'on remarque d'autres on remarque que si je prends la valeur de lundi 6 6 2 2 plus ou moins 1 ça fait n + 1 quand j'ai intégré j'ai toujours là mais cette même propriété c'est-à-dire que 3 + et - 2 ça fait n + 1 donc je peux intégrer autant de fois que je veux je vais je vais maintenir cette égalité et puis en particulier quand je continue la tout mais intégral je vais bien finir par arriver sur celles qui concernent directement les erreurs on est d'accord à force de remonter là le long des différentes intégrale de la fonction je vais arriver à la fonction elle même donc j'arrive à la fonction erreur donc c'est inférieur ou égal à hem facteur 2 x - za puissance quoi mais je viens de te dire que la somme là de ski à la et de ski à la fée n + 1 là y'a quoi bail à 0 aux sous-entendus et bien du coup ici je vais avoir n + 1 au dénominateur qu'est ce que ces trois fois 2 ces trois factorielle de même que deux là c'est la même chose que deux fois zain c'est à dire 2 factorielle donc lundi ce qui a ici ils se retrouvent là en factorielle 3 x 2 c'est comme 3 factorielle donc ici à n + 1 factorielle et le sais tu as compris en fait à chaque étape il vaut zéro donc le sait il n'apparaît pas la c1 +0 encore une fois donc là la magie de ce qu'on vient de faire c'est que finalement on arrive à un résultat où on bornes on donne une valeur supérieure à l'erreur en x alors n'oublie pas quand même un point c'est qu'on a fait tout ce calcul 6x appartient à l'intervalle ab donc 6 appartient bien à l'intervalle ab c'est à dire l'intervalle sur lequel on connaît la dérive et n plus génial de la fonction elle même est bien dans ce cas là on a réussi à borner l'erreur a trouvé la valeur maximale que pour apprendre notre erreur lors d'un développement de taille lors de notre fonction et donc tu vas voir des exercices pour utiliser ses propriétés et tu verras c'est très intéressant d'avoir cette cette valeur supérieure de l'erreur