Le développement en série de Maclaurin de la fonction cosinus

dans une précédente vidéo j'étais introduit la série de mc lorin la série de mc lorin qui est une série polynomiale qui a pour objectif d' approximer 9 d'être l'approximation d'une fonction f et pour cela on a besoin de connaître ce qui se passe au point zéro de cette fonction f c'est pour ça que dans le la série de mc lorin qui est représenté par pauline hommes et 2 x eh bien on voit venir la fonction f10 f20 sa dérive et 11,0 exprime 2 0 sa dérivée seconde ça veut dire il est troisième et pour le énième terme la dérive et énième de la fonction f10 dans cette vidéo on va faire un exercice c'est qu'on va prendre une fonction spécifique précise on va chercher à trouver l'approximation par la série de mc lorin de la fonction f 2 x est égal à cosigner x tout simplement alors d'après la formule on va avoir besoin des différentes dérives et de la fonction f donc du coup je vais les calculs et donc la dérive et première f primes de x c'est la dérivée de gossip music ce c - signe 6 ensuite la dérivée seconde elle a dérivé de sinusite c'est comme si du 6 mai comme jan - ben ça va être moins cottigny 6 la dérive et 3e prix mme greene primes - caussinus x a dérivé bas ça va être la dérivée de gossip music sait moins c'est musics - - ça va faire plus donc 6006 ensuite la dérive est quatrième ah non je vais mettre un 80 entre parenthèses dérivés quatrième de f1 x c'est égal à la dérive et de cygnus x c'est-à-dire caussinus x alors ensuite à chaque fois nous ce qui va nous intéresser c'est la valeur de la dérive et en zéro donc et même la valeur de la fonction à zéro donc vos f20 décès caussinus de zéro c'est à dire un ensuite la dérive et première que vaut-elle en 0 sinus 2 0 ça fait zéro le moins n'y changera rien ça reste 0f seconde 1-0 caussinus 0 ça fait 1 il ya le moins ça va faire moins à la dérive et 3e en 0 c'est un sinus savent 010 en tout cas ensuite la dérive est 4e à 0 mais alors on revient en fait à la même chose qu'au départ donc ça à faire un don qu'on voit un truc intéressant on voit que d'une dérivé à l'autre on passe d'un nombre à 0 donc là c'est 1 0 et ensuite quand on regarde les dérivés n'ont nulle eh bien on alterne entre 1 et -1 1 - 1 1 donc la dérive et 5e c'est la suivante elle fera 0 l'a dirigé 6e et fera -1 etc etc donc du coup si je veux écrire le polinum qui est une approximation de f ben je vais écrire d'après la formule ici la série de mc lorin qui est là je vais pouvoir écrire que le polynôme c'est alors f20 donc un plus f prime de zéro donc celui-là il vaut zéro donc le terme un x il existera pas donc on va directement allés au terme en x carré f secondes de zéro savent au moins un donc ça va être moins un demi de x2 le terme suivant il n'existera pas puisque la dérive et troisième de f 1 0 0 il va falloir aller à la dérive et 4e la dérive est 4e correspondra au x puissance 4 donc ça va être quoi bah déjà ça va être un plus et ici le terme 1,2 me bats c'est tout simplement un / 4 factorielle pourquoi je sais comme ça que ces quatre sans trop réfléchir je le sais parce que quand on en une année au terme ex-puissance nc1 suresnes factorielle donc là on en est au terminus puissance 4 donc je sais que dans cette formule c'est un / 4 factorielle et ainsi de suite donc le terme d'après ces du x puis 105 mais il va être nulle part ce qui correspond à la dérive et 5e et ensuite le terme d'après on va passer à du moins un donc ça va être ça va non pas être plus ça va être moins et on va en arriver au x puis 106 donc ça va être un sur six factorielle x x puissance 6 donc ce que tu remarques en fait c'est qu'il n'y a que les termes en puissance perd 2 x donc on passe de 2 à 4 à 6 tous les termes un père en fait correspondre à des dérives et un père de la fonction est fait don qui correspondent à des dérives équivalent 0 à chaque fois donc le terme suivant sa vallée du lys puissent ensuite avec un plus pourquoi un plus je te rappelle je te rappelle juste qu'en fait on alterne pour les termes n'ont nulle de la dérive et on alterne entre 1 et -1 donc la c1 plus la c1 - la c1 plus la c1 - là c'est un plus donc après on sait que c'est un moins on arrivera en x puissance 10 donc un sur dix factorielle forex puissance 10 etc etc et donc là je peux aller à l'infini comme ça je peux écrire tous les termes au fur et à mesure et si je les écrivais tous bajeux collerait parfaitement la fonction caussinus x donc c'est une très bonne ce polinum est une très bonne approximation de la fonction côté musique c'est ça peut être intéressant d x 2 au lieu de travailler avec cette fonction qos et musique de pouvoir l'écrire comme un polynôme