Formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

bonjour dans des vidéos précédentes on m'a appris comment calculer la somme des haines premier terme d'une suite arithmétique ici ce qu'on va faire c'est un petit peu la même chose mais avec une suite géométriques donc on se donne une suite eu géométriques c'est une suite géométriques dont on connaît le premier terme le premier terme qui est un certain nombre à est aussi la raison qui est un certain nombre que j'appelle q ensuite on prend un nombre entier et on note s n la somme des haines premier terme de la suite eu donc ce qu'on va essayer de faire c'est trouver une formule qui permet de calculer cette somme s ndn premier terme d'une suite géométriques ce que je vais faire pour commencer j'aime bien toujours faire ça c'est essayer de voir un peu de quoi constituer cette somme là donc je vais la réécrire est saine et bien c'est donc la somme des haines premier terme de la suite alors le premier de tout premier terme ca ensuite je dois ajouter le deuxième terme alors le deuxième terme puisque c'est une suite géométriques c'est le premier terme x la raison donc ça je vais l'écrire comme ça c'est à x q la raison qu ensuite je vais ajouter le troisième terme qui est ce terme là le deuxième terme multiplier encore par q donc ça me donne à fois qu au carré à fois qu au carré ensuite j'ajoute le terme suivant et le terme suivant c'est ce terme-là multiplier encore une fois par q donc ca fois qu élevé à la puissance 3 voilà je pense que tu commences à voir ce qui se passe je continue j'ajoute le terme d' ensuite qui est donc à fois qu élevé la puissance 4 + ainsi de suite et puis il faut que je m'arrête au dernier terme le dernier terme c'est le énième terme de cette suite alors ça va être le nombre à le premier terme x q élevé à une certaine puissance ça je pense que tu l'auras compris donc ça va être qu élevé à une certaine puissance et il faut essayer de comprendre à quelle puissance on doit élever de la raison qu ici alors pour comprendre bien ça ce qu'on peut faire c'est regarder un petit peu les termes qui sont donnés ici le premier c'est à fois qu élevé la puissance 0 cusb la puissance 0 ça fait 1 ici dans le deuxième terme qu est élevé à la puissance 1 dans le troisième terme qu est élevé à la puissance 2 dans le quatrième terme qu est élevé à la puissance 3 es tu vois que dans chaque terme on élève la raison un exposant qui est le rang du terme - 1 donc ici on va avoir q élevé à la puissance n - ns a donc si tu veux tu peux vérifier que tout se passe bien si tu remplaces n ici par exemple pour ce terme là qu'est le troisième terme il faut prendre n égale 3 et donc on obtient ici qu puissance 3 - 1 qui fait bien deux tu peux regarder ça pour chaque terme quand même on a un petit peu avancé puisque on a donné une expression en extension de notre somme est saine alors maintenant ce que je vais faire c'est un petit stratagème qui va être très très utile en fait je vais réécrire cette somme là mais on l'a multipliant par la raison qu donc ce que je vais faire c'est écrire qu fois snq fois est saine donc ça ça me donne tout ça x q donc le premier terme x q c'est donc à fois qu est ce que je vais faire c'est l'écrire en fait en dessous de celui ci tu vas voir que ça ça va être intéressant donc finalement ici je vais écrire à fois q à foix qu est ce que je veux dire c'est qu'en fait c'est celui ci que je multiplie par q et que je place dans la deuxième colonne ici et puis ensuite je vais ajouter c'est ce terme-là x q donc à fois qu une fois qu encore donc à fois qu au carré et celui là je vais donc l'écrire ici à fois qu au carré et tu vois que c'est donc ce terme-là x q que j'écris ici dans la troisième colonne je vais faire exactement pareil à chaque fois ensuite je vais avoir celui ci a fois qu au carré x q que je vais placer ici ça va être à fois qu au cube plus ainsi de suite le terme suivant ça sera celui ci x q donc à fois qu puissance 4 ainsi de suite alors ici ce que je vais mettre c'est le terme qui est avant il celui là ici juste avant le dernier x q donc ça va me donner à fois qu puissance n - 2 x cul ça me donne effectivement à fois q puissance n - 1 et du coup il me reste encore un terme qui est celui ci que je dois x q donc ici j'ai encore un terme c'est à foix q puis 100 cède -1 fois q donc ca fois q puissance n alors maintenant c'est quelque chose qui est très intéressant là dedans c'est que tu vois si je soustrais ça qu'une fois et scènes de la somme est saine en fait en colonnes on peut remarquer que tous les termes ici vont disparaître et il va me rester simplement le premier terme et celui ci le dernier à fois plus puissante m alors que l'on va le formaliser un petit peu je vais le faire je vais donc écrire s&n moins qu fois est saine et ça on va le faire en colonne donc ici j'ai ma soustraction colonnes et scènes - qsl et puis ici je vais tout soustraire en colonne est en fait ce qui va se passer c'est que ici je vais avoir à fois q - à fois qu ici à fois que au carré - à fois que au carré ça ça va sans annuler ces deux termes là vont s'annuler aussi ces deux termes là aussi vont s'annuler est donc finalement ce qu'il me reste c'est tout simplement le premier terme à moins le dernier terme qui est à fois qu élevé à la puissance n q élevé à la puissance n donc le cul ici je le mets en bleu c'est la raison de la suite et là on est presque au bout de nos peines puisque ici il obtient quelque chose d'intéressant est ce que je vais faire c'est dans le membre de gauche ici je vais mettre sn en facteur donc ça me donne s&n facteur de 1 - q 1 - q et ça eh bien c'est égal à alors ici aussi je peux factoriser quelque chose le premier terme a donc je vais le mettre en facteurs et ça c'est un facteur de 1 1 - q élevé à la puissance m et tu vois que ici maintenant si je divise par un moins qu'une les deux membres ce que j'obtiens secteur relation la snc à facteur de 1 - q élevé à la puissance n / 1 - q et ça c'est le résultat auquel on devait arriver on obtient une formule ici qui permet de calculer la somme des haines premier terme d'une suite géométriques quand on connaît le premier terme est la raison de cette suite donc cette somme là elle est égale au premier terme x 1 - la raison élevé à la puissance n est / 1 - la raison leur peau est tout à fait rigoureux il faudrait quand même préciser que ce qu'on vient de faire ici c'est valable seulement si la raison qu est différente de 1 il faut que q soit différent de 1 puisque sinon effectivement dans cette formule 1 on est une division par zéro ce qui est pas possible bon ça enlève très peu de généralités à notre formule puisque si on a une suite géométriques deux raisons 1 et bien en fait c'est une suite constante donc je te laisse dans ce cas-là examiner quelle sera la somme des haines premier terme d'une suite constante