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Changer de système de coordonnées pour trouver plus facilement la matrice d'une application

Changer notre système de coordonnées pour trouver la matrice d'une application dans la base canonique. Créé par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va faire un petit exercice on va se placer dans r2 et du coup on va regarder notre notre plan comme ceux ci dans r2 et on va apprendre on va regarder un vecteur qui est le vecteur 1 2 1 2 c'est quoi ce vecteur 1 2 c'est le vecteur donc ici un ici 2 donc mon vecteur 1 2 il est comme ceci est en fait on va regarder nous ce qu'on veut c'est on va s'intéresser à la droite définit par ce vecteur 1-2 donc la droite comme ceux ci qui fait comme ceci donc et pour la définir on dit qu'en fait c'est on va l'appeler elle cette droite où la ligne l je vais pas là plaidé pour une raison qu'on verra plus tard cette droite c'est en fait l'ensemble des vecteurs t fois le vecteur 1/2 ou t appartient à m donc si on prend l'ensemble des vecteurs tréfois le vecteur 1/2 août et appartient air on définit bien cette droite ici en jaune et nous ce qu'on va s'intéresser ce soit quand on va s'intéresser on va s'intéresser à une application in her un peu spécial si on prend un vecteur x quelconque ça on suppose que ça avec le x on va s'intéresser à l'application linéaire qui a ce vecteur x associe l'allèle symétrique de x par rapport à cette droite par exemple ici ça va être quelque chose ça va être un vecteur qui va être comme se fit en comme ceci donc ça c'est c'est le t2 x en fait c'est comprend l'application inerte et qui va de r2 dans r2 et où tu es 2x est en fait la réflexion ou le symétrique de x par rapport à ma droite elle donc coûté 2 x et la réflexion réflexion 2x la réflexion de x par rapport par rapport à elle à ma droite l on comprend une application qui a tous vecteurs x associe la réflexion de ce vecteur x par rapport à ma droite elle est par exemple si on prend un vecteur on va prendre un vecteur qui est orthogonale à cette droite donc un vecteur orthogonale on l'obtient en inversant les deux confiants et en prenant à moins par exemple si on prend le vecteur 2 - 1 donc ce vecteur l'a déjà on le voit visuellement il a bien l'air orthogonale à cette droite est en fait si on fait donc ça c'est le vecteur j'ai dit on va l'appeler v1 ce vecteur v1 on va dire que c'est le vecteur du coup de moins un si on fait le produit scalaires de v1 par un vecteur quelconque de cette droite l on va voir tes x 2 x 1 2 que ça fait deux - en fait - 2 donc deux moins de zéro donc le produit scalaires de ce vecteur par un vecteur quelconque de l vos biens zéro donc v1 et bien perpendiculaire ou orthogonale plus tôt à ma droite elle est si je regarde maintenant que vos t devient c'est à dire la réflexion devait 1 par rapport à elle en fait ça va être un vecteur donc qui va être qui va être comme ceci ça c'est ted v1 c'était de v1 et vous quoi en fait il vaut moins v1 yves haut niveau le vecteur -2 1 - 2 1 donc voilà donc ça ça donne un peu une idée de ce qu'est la l'application linéaire thé et du coup ce qu'on peut dire aussi c'est que cette application nerfs on sait on a vu que on peut l'écrire sous la forme t2 xt2 x est égal à à une matrice à foix le vecteur x est en fait la matrice à on peut décrire ça on a vu il ya longtemps on peut décrire comme celle là transformer ou 71,2 en fait une matrice de deux pardon à doubler le dire ça va être une matrice de 2 et la première colonne en fait ça va être le vecteur t fois le premier vecteur de ma base canonique qui est le vecteur 1 0 ça c'est ma première colonne et la deuxième colonne s'est tu et du vecteur du deuxième vecteur de mobileme qui est le vecteur 0,1 alors ça donc ça c'est ma batterie ça si on regarde le vecteur 1 0 donc c'est ce vecteur ici donc la réflexion de terrain par rapport à ma droite elle ça va être un vecteur qui va être un peu comme se fit bompas pas forcément évident à déterminer exactement à quoi il va être égal et de la même façon si on regarde le vecteur 0 1 c'est ce vecteur ici en bleu la réflexion par rapport à droite va donner un vecteur comme ceci je sais pas exactement voilà un peu à peu près comme ça donc là encore pas évident à déterminer en fait la matrice à la matrice à elle est difficile à déterminer parce que tu es de mes deux vecteurs c'est assez difficile à déterminer en fait ça c'est c'est vraiment c'est pas quelque chose qui est évident voilà c'est pas évident de déterminer ma matrix a alors par contre on peut utiliser quelque chose qu'on a fait dans les quelques dernières vidéos si on prend avec x et on multiplie par la matrice à on va obtenir t de x ça c'est ce qu'on vient de dire maintenant ce qu'on peut faire c'est que au lieu de rester dans la base canonique on peut se déplacer on peut aller dans une autre base et on peut écrire x les coordonnées de x selon une base b et si on appelle c'est la matrice de passage de la base canonique à la base b en fait on passe de x jusqu aux coordonnées de x dans la base b avec la matrice ses moyens donc l' inverse de la matrice de passage et à ce moment là on peut passer des coordonnées de x dans selon la base b jusqu'au coordonnées de thé de x selon la base b grâce à une certaine matrice d on va voir comment on la définit et enfin on peut finir le carré en disant qu' on peut passer des coordonnées de thé 2x dans selon la base des aux coordonnées de tedx en multipliant par la matrice c ou un verre sont peut passer des coordonnées de thé de x selon la base canonique ou coordonnées de thé du x selon la base b en multipliant tu parles inverse de la matrice et ouais et ce qui nous manque ici c'est en fait on a vu dans les vidéos précédentes que la matrice des on peut l'obtenir hamad à partir des matrices inverse de ses lames à tisser et la matrice à selon donc décès linverse de ces fois à fois c est de la même façon peut obtenir à partir des trois autres matrice la matrice à ça va être quoi cette lettre c'est fois la matrice des fois c'est moisan et du coup pourquoi est-ce que c'est intéressant ici parce que on a dit que la matrice à était difficile à déterminer mais si on arrive à déterminer une certaine matrice bedan dans une autre base une matrice des dans une autre base b qui soient plus faciles à calculer à ce moment là on pourra remonter la matrice à en multipliant par la matrice c'est d'un côté et l' inverse de la matrice et de l'autre côté donc c'est ce qu'on va faire on va prendre donc on va déterminer une nouvelle base on va déterminer une base qu'on va appeler la base b de façon originale et on va pas prendre n'importe quelle base on a vu ici deux vecteurs qui pouvait être intéressant qui sont le vecteur ici qu'on a appelée v1 parce que pourquoi est ce qu'il est intéressant parce qu'il est orthogonale à ma droite elle et on a un deuxième vecteur qui est le vecteur 1 2 pourquoi est ce qu'il est intéressant parce que lui il est compris sur la droite donc si je dis que ma base c'est le vecteur 2 - 1 est le vecteur 1 2 donc je vais nommer les vecteurs je veux dire que c'est ça c'est le vecteur v12 les gelées déjà nommé comme ceci est le deuxième vecteur je vais le nommer v2 je veux dire que ça c'est un vecteur v2 alors du coup une fois qu'on a faim que vaut que vous v1 quels sont les coordonnées de v1 selon la base b alors vient selon la base b v1 ckoi v1 c'est égal à une fois v1 +0 fois v2 et du coup ici on voit bien que les coordonnées devient selon la bbc une fois le premier vecteur +0 fois le deuxième vecteur donc ses coordonnées c'est 1-0 voilà en fait c'est tout simple les coordonnées du premier vecteur c10 et du coup de la même façon les coordonnées de v2 selon la base b ça va être quoi ça va être en fait v2 illégal à quoi il égale à 0 soit bien plus une fois v2 et du coup ses coordonnées ça va être 0 1 en fait ça c'est on peut on peut généraliser si on a une base avec un vecteur ou avec eux avec un vecteur disons alors on n'aura que le les coordonnées du kayem vecteurs selon la base b à laquelle il appartient ça va être quoi sauvé en fait on va avoir des 0 au dessus on va avoir 1 1 à la caille ème position et ensuite des zéros qu'en fait on valoir que des zéros sauf le cayenne coefficient qui va être égal à 1 alors pourquoi c'est intéressant parce que maintenant si on essaye de déterminer la matrice des matrices des je peux l'écrire c'est une matrice de deux je peux l'écrire avec ses vecteurs colonnes on peut dire que c'est un vecteur colonne des seins et un deuxième vecteur colonnes d2 et assure à sion regarde des fois v1 selon la base b ça me donne quoi ça me donne ma matrice des donc d un des deux fois alors c'est quoi v1 selon la base buvant l'a dit c'est le vecteur 1 0 1 0 donc ça vaut quoi ça vaut une fois d un une fois d un + 0 x d2 +0 fois des deux donc ça ça me fait quoi ça me fait des 1 mais on peut aussi dire que des fois le vecteur v1 dans la vaste baie en fait c'est ce qu'on a ici si on part 2 e x et qu'on multiplie par des on obtient t2 x selon b a fait 6 mm chose si on part de v1 selon b on multiplie par des on veut obtenir t2 v1 les coordonnées de thé de v1 selon la base mais ça c'est égal à thé de v1 selon ma base b et la même façon si on calcule des du vecteur v2 selon la base b ça va faire quoi ça fait toujours ma base mama matrice d qui est d un des deux fois v2 sur la base b qui est le vecteur 0 1 donc ça ça vaut quoi ça vaut des deux façons ça fait zéro d un plus un des deux donc ça fait des deux essais égal à quoi c'est égal aux cours donnés deux t2 v2 selon la base b donc en fait on peut réécrire matrice des mains madrid et c'est quoi c'est un hymne matrix avec deux vecteurs colonnes le premier vecteur colonnes si les coordonnées de thé devez 1 selon b ailé deuxième colonne c'était de v2 selon mme abbas b alors est-ce que ça peut se calculer si on revient à notre schéma ici on a dit que du coup v1 il était comme ceux ci que ted v1 était comme ceci qu en fait t'es levé un veau moins bien on a dit que tu es devait 1,7 et gala - v1 ce qu'on a écrit ici on a dit que tu es tu reviens c'est moins de 1 donc c'est bien moins 2 - 1 donc si on réécrit ça en bas on a que tu es de v1 c'est égalament - v1 et du coup si on réécrit ça maintenant selon la base bt2 v1 selon la base bcd gala quoi en fait c'est moins une fois le vecteur v1 donc c'est moi une fois le vecteur via le vecteur v1 ses coordonnées sur la base b c'est quoi c'est le vecteur 1 0 donc en fait t'es devez 1 selon la bbc le vecteur - 1 0 et de la même façon si on regarde que voter de v2 en fait v2 et sur l'a2 la droite elle du côté de v2 est égal à v2 je l'écris richy directement t2 v2 est égal à v2 et du coup les coordonnées de tv2 selon ma base b ces gars-là quoi ces gars-là v2 et les coordonnées de v2 selon la bbc le vecteur 0 1 donc on voit que très simplement j'ai été capable de trouver ma matrice des matrices d elle vaut quoi c'est la matrice donc où le premier vecteur colonne s'est élevé 1 selon la base b donc c'est le vecteur - 1 0 - 1 0 et lv2 selon la base b c 01 du coup 0 1 voilà ma matrice bl et elle est extrêmement simple et elle est vraiment simple à calculer aussi donc maintenant pour obtenir ce que je voulais masse obtenir la matrice à il faut que jeunesse matrix et la matrice de changement de base est la matrice inverse de ces alors la matrice c'est simple parce que mes vecteur ces 2 - 1 es12 du coup ma matrix et matrix et ça va être la matrice de -1 1 2 alors une fois que les sages peut calculer la matrice inverse de ses moins ça vaut quoi ça vaut 1 sur le déterminant et un sur le déterminant c'est 2 fois 2 4 - moins une fois donc moins -1 du coup ça fait plus 1 ça fait 1 sur le déterminant qui est 5 donc un cinquième est ensuite l'intervertion les 2 2 mais en fait ça reste 2 2 et je mets moins ces coefficients ici donc ici je vois un +1 et ici je vais voir moins un an du coup ça y est j'ai tous les éléments pour calculer ma matrix a donc matrice à elle vaut quoi elle vaut si je reviens elle vaut cdc - 1 alors c'est donc fait 2 - 1 1 2 des motrices décès - 1 001 etc - 1 ça fait un cinquième je le mette devant un cinquième de 1 - 1 2 donc voilà donc je peux commencer à faire mon calcul maintenant c'est assez simple j'ai que des produits de matrix deux par deux affaires du coup ici qu'est ce que j'obtiens alors je tiens une matrice de par deux puisque j'ai une produit d'une matrice de par2 paris n'attriste par deux donc je tiens une matrice deux par deux le premier coefficient il chili c'est deux fois moins du coup moins de plus une fois 0-0 donc ça fait moins 2 le deuxième coefficient ici ça fait deux fois 0-0 +1 ici j'ai moins fort moins 1 du coup ça fait 1 et ici j'ai moins 1 fois 0 2 ou 0 2 x 1 2 du coup je n'oublie pas le 1/5 ici et je recopie novatrice c'est moins 20 qui est la matrice de 1 - 1 2 ce que j'ai milan 5e devant et du coup il me reste à faire ce calcul là ça vaut quoi alors le premier coefficient c'est encore une produits de matrice de par2 du coup ça me fait une matrice deux par deux le premier coefficient ici j'ai moins 2 fois 2 du coup ça fait moins quatre plus un ça fait moins 3 le deuxième coefficient ici ça fait moins deux fois moins ça fait 2 plus une fois 2 donc de plus de 4 ici j'ai une foi de deux plus deux fois 1 2 du coût de plus de 4 et le dernier c'est une fois - 1 - 1 + 2 x 2 cas du coût 4 - 1 ça fait 3 et je voulais pas le 1/5 du coup ma matrice à matrix a gelé déterminée elle vaut quoi elle vaut moins 3/5 4/5 4/5 trois cinquièmes voilà du coup on voit que bon la matrice à l était pas forcément évidente à déterminer directement mais là on a réussi à déterminer ma matrice d assez simplement finalement la matrice et est facile à calculer et du coup on arrive sans trop de difficultés à trouver ma batterie ça qui autrement auraient été assez difficile à calculer donc voilà donc dans la dernière vidéo on disait que l'algèbre linéaire finalement c'était l'art de trouver la bonne base et ben finalement ici on a trouvé une base qui nous a permis de calculer simplement la matrice correspondant à l'application linéaire selon cette base et du coup on enrichit finalement à retrouver assez facilement la matrice à dans la base canonique qui correspond à notre application in her way j'espère que tout ça c'est c'est bien clair pour toi et je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo