Matrice de passage inversible

alors dans cette vidéo on va considérer comme dans la vidéo précédente une base b composé de vecteurs v1 v2 et cetera jusqu'à vk donc on a qu'à vecteur de la base donc ça génère les vecteurs véhi génère un sou espace de rn 2 dimensions cas du coup c'est ce que je viens dire on a les v1 v2 et cetera jusqu'à vk qui appartiennent tous arn on se place dans aer n est qu on a vu dans la vidéo précédente on peut à ce moment-là écrire la matrice de changement de base qu'on appelle c'est la matrice c'est qui s'écrit en fait assez simplement avec les vecteurs colonnes ces vecteurs colonne sont les vecteurs de la base et donc on avait un v2 et cetera jusqu'à vk et du coup on a dit que ces vecteurs appartiennent arn donc les dimensions de la map et ccn fois cas on n'a qu'à colonnes du conte aka vecteurs et on a une ligne vu que tous les vecteurs appartiennent arn et on a vu dans la vidéo précédente que si on prend un vecteur a au nom avec à qui appartient à arn à rn11 suppose que à appartient aux sous espace engendrés par les vecteurs vais y est du coup à ce moment là on peut écrire que mon vecteur à est égal à quoi est égal à matrix et fois les coordonnées de adam la base b voilà le produit de la matrice et fois les coordonnées de dans la base b est égal à mon vecteur a écrit avec les coordonnées de la base canonique de n alors on va aller un petit peu plus loin on va supposer donc supposons supposons que la matrice c est un ver cible c est un ver cible qu'est ce que ça veut dire que c est un ver cible ça veut dire que d'une part c est une matrice kayes c est une matrice est une matrice carré ça c'est le première condition est la deuxième condition c'est que les colonnes de ces sois line armand indépendante donc colonnes on veut qu'elle soit linéaments indépendante ou que les vecteurs cullen soit linéaments indépendant alors cette deuxième condition ici à leur donnant parce que les vecteurs colonnes demain matrix et sont les vecteurs d'une base du cou par définition ils sont linéairement indépendant ça c'est une condition qui est ce assez redondant redondant donc il nous reste à il faut que la matrice c'est sous une matrice carré si la matrice est une matrice carré ça veut dire que on a n'ont plus qu'à colonnes mais en haleine colonnes ça veut dire quoi qu'on ait une colonne ça veut dire qu'on doit forcément avoir que cas est égal à n et du coup maintenant on a hand vecteur qui sont inhérents indépendant n vecteur linéairement indépendant dans est reine dans aer n et du coup ça veut dire quoi ça veut dire que ma matrice b elle est composée de haine vecteur mahama base b est composé de haine vecteur linéairement indépendant et rennes dont ma matrice b est une base de rn même matrice b est une base de r n donc si ce que j'ai dit c'est que si ma matrice c est un ver cible alors b est une base de rn c'est à dire que ben et génère est reine donc je vais l'écrire si si c est un ver cible alors le on va dire le vectes de b c'est-à-dire l'ensemble générés par les vecteurs cola par les vecteurs de b le vfb est égal à rn6 et est invincible alors le vfb est égal à airaines mais en fait on voit que si le vecteur de bay est égal à rn6 levêque tu devais est égal à rennes ça veut dire que b est composé forcément de haine vecteurs et du coup si b est composé de haine vecteur ça veut dire que c est une matrice carré donc que la matrix et est invincible donc en fait c'est pas seulement 1 6 et 1 si et seulement si on peut écrire dans l'autre sens en fait si b si le mec tu suis le mec tu de b c'est à dire l'espace générés par les vecteurs de bay est égal à airaines alors c est un ver cible c est un ver cible donc ça veut dire quoi ça si on revient ici sauf si c est un ver cible alors on peut multiplier de chaque côté dans cette égalité par l' inverse de la matrice est donc si on fait ça on a c'est moins un don clinverse de ces fois c'est fois a écrit selon la base b qui est égal à ses moins 1 fois mon vecteur à et du coup ici c'est moins 1 fois c'est ça fait la matrice identité donc j'ai que le vecteur à ou les coordonnées doit selon la base b est égale linverse de la matrice et moi mon vecteur a donc l'idée c'est que si je connais ma matrix et et les coordonnées de à selon la base b je peux calculer à son la très simplement mon vecteur à les coordonnées de mon vecteur à selon la base canonique grâce à cette égalité est au contraire si je connais ma matrix et dont je connais forcément matrice inverse de ces et je connais et si je connais également les coordonnées de à dans la base économique alors je peux calculer très simplement les coordonnées de à dans la base b grâce à cette égalité là donc on va faire des petits exemples on va prendre deux vecteurs v1 qui est égal aux vecteurs 1 3 est un vecteur v2 qui est égale au vecteur de 1 2 1 du coup on a une base si on prend ces deux vecteurs ensemble ils forment une base on appelle la base b donc tu peux vérifier de ton côté que ces vecteurs sont bien linéairement indépendant et du coup b vu qu'on les vecteurs v1 et v2 son horaire 2b est une base est une base 2 r2 donc on peut maintenant écrire notre matrice ces deux changements base c'est cette égal à la matrice donc 1 3 2 1 et du coup on peut maintenant calculé linverse de la matrice est donc pour ça il faut calculer d'avoir le déterminant de cette matrice le déterminant de cette matrice sais c'est quoi c'est ici 1 x 1 - 3 x 2 donc un -6 donc un moins 6 donc ça fait un déterminant ou de -5 donc le fait que se détermine en soit différente 0 samedi que la matrice est inversé vu que la matrice est une matrice karine et du coup linverse de la matrice et ça vaut quoi ça vaut 1 sur le déterminant donc ça fait moins un cinquième fois la matrice on obtient où on inverse les deux coefficient ici donc on va voir 1 1 et on prend l'opposé des coefficients il fit donc - 3 - 2 donc ça c'est ma matrice inverse de ces nous supposons que maintenant on prenne un vecteur à on prend un vecteur à qui appartient air 2 on comprend par exemple un vecteur à on suppose qu'on connaît ses coordonnées dans la matrice canal dans la base canonique donc qui valent 7,2 et on se pose la question que valent les coordonnées de à dans la base b donc ça c'est ce qu'on va essayer de calculer et alors pour faire ça on va utiliser l'équation qu'on a trouvé dans cette vidéo qui est que les coordonnées de à dans la base b c'est égal à quoi c'est égal à linverse de la matrice et fois les coordonnées de à dans la base canonique donc on connaît l'un verse de la la matrice c'est donc ça être égal à moins en cinquième x 1 - 3 - 2 1 et du coup les coordonnées de 1 on a dit que c'était 7 2 7 2 donc ça ça fait quoi ça fait on va laisser le moins un cinquième devant - un cinquième est ici je vais avoir quoi je vais avoir cette -4 donc ça fait 3 et -21 +2 donc moins 19 - dix neuf donc maintenant si je vais rentrer le moins un cinquième dans le vecteur je vais avoir moins 3/5 moins trois cinquièmes et 19 5e 9 5e donc ça veut dire que mon vecteur à selon la base b s'écrit comme c'est le vecteur moins 3/5 19 5e et du coup maintenant on peut vérifier qu'on obtient bien les bonnes qu'on retombe bien sûr les coordonnées de à à partir de ces coordonnées a donc on n'a que les coordonnées de à on a que le vecteur à ckoi c'est moins 3/5 fois le vecteur v1 mon vecteur v1 c'était quoi c'était le vecteur 1/3 1/3 +19 5e +19 cinquième fois le vecteur v2 qui est le vecteur 2-1 et du coup si je fais le calcul ça me donne quoi ça me donne pour le premier si je fais rentrer le moins 3/5 ça fait moins 3/5 moins trois cinquièmes et en bas ça fait 9 - 9 5e et pour le deuxième vecteur ça fait quoi ça fait dix neuf fois de ça fait 38 cinquième est ici pendant ici ça fait 19 5e 19 5e et du coup ça me fais quoi tout ça ça me fait sur le premier confiance a fait 38 - 3 donc ça fait 35 5e 35 5e ça fait 7 et en bas ça fait 19 - neuf donc ça fait 10 5e 10 5e ça fait deux donc je vois ton bien sûr les coordonnées de à dans la base canonique alors on peut on peut faire la même chose on peut prendre un autre exemple prenons le vecteur on va prendre un vecteur d dont on connaît les coordonnées dans la base b on va prendre quelque chose de simple on va dire que les coordonnées dans la base b c 1 1 lyon se pose la question que valent les coordonnées de dés dans la base canonique alors pour ça on va utiliser la relation qui nous dit que les coordonnées de dés dans la base économique c'est égal c'est fois les coordonnées de dés dans la base b du coup ça me dit que l'on vecteur d illégal à quoi matrix cesser la matrice 1 3 2 1 fois les coordonnées de bay dans la base b 1 1 et ça ça me fait quoi ça me fait un x 1 1 + 2 x 1 2 donc un plus de ça fait 3 et 3 x 1 3 +14 donc les coordonnées de dés dans la base économique sont les sons 3 et 4 donc tu peux vérifier par toi-même que on tombe bien là dessus si on prend les corner de ben et donc va donc l'idée de cette vidéo c'est que on a euh relations qui nous permettent à partir des coefficients soit dans la base économique soit dans une base arbitraire de retrouver les coefficients d'un vecteur quelconque dans une autre base