Matrice d'une application linéaire par rapport à une base

dans cette vidéo on va considérer une application in her qu'on va appeler tai chi est une application l'inr qui va de r n dans f haine donc si on représente ça on à l'espace de départ qui est reine donc qui est comme ceci r n est on a un point 2-2 et rennes donc avec x qu'on va emmener dans l'espace d'arriver donc qui est aussi est reine et du coup mon application linéaire t permet de passer de ce facteur x à un vecteur qui est qu'on va appeler tt2 x et en fait on sait que vu que t'es est une application in rt2i x peut s'écrire comme une matrice à foix le vecteur x ou en fait à est la matrice à est la matrice correspondant à ma mon application inerte et donc à est la matrice qui correspond à l'application inerte et en fait tu as et pas n'importe quel matrice correspondra à thé je vais rajouter un type précision à ses lamas crise qui correspond à thé selon selon la base canonique ici on prend t on prend x était de x dans la base canonique c'est selon la base canonique parce que en fait on peut très bien imaginer prendre une autre base par exemple on va appeler b b on va dire que c'est une base qui est composé des vecteurs fait un v2 jusqu'à vnv n donc b est une base de rnb est une base est une base de f haine donc ici on a en a pris x selon la base connue nick lane la base canonique t2 x la base canonique mais on peut très bien prendre les coordonnées de x selon la base b ici au même point au même point qui causent convecteurs x on peut associer d'autres coordonnées qui sont les coordonnées de x selon la base b selon la base b ce x6 6 qui correspond aux coordonnées de x selon la base canonique et ce x qui correspond aux coordonnées selon la base b ça correspond même vecteur c'est juste différente façon de l'écrire et du coup à ce point ici qui correspond aux coordonnées de x selon la bad b l'application inerte et fera correspondre le même point que tu es 2 x mais qu'on peut écrire le les coordonnées du vecteur t2 x selon la base b on peut écrire que les coordonnées de thé de x selon la base b ça va être égal à quoi ça va être égale à une autre matrice qu'on appelait la maxis des fois les coefficients les coordonnées de x selon la base b donc ici je peux préciser ou des est la matrice est la matrice correspondant correspondant à thé mais pas n'importe laquelle selon la base b selon la base b donc c'est là la matrice qui fait correspondre aux coordonnées de x selon la base b les coordonnées de thé de x selon la base b donc ici on a on a deux matrices différentes qui sont liées toutes les deux à l'application linéaire t mais selon des bases différentes et en fait ce qu'on va essayer de voir ses skis un lien entre la matrice d et la matrice a donc pour ça on va définir notre matrice de changement de base on va dire que c'est la matrice sait qui est égal à quoi c'est la matrice dans les vecteurs colonnes sont les vecteurs de ma base b donc v1 v2 etc jusqu'à vn ja n vecteur donc la matrice et est une matrice n x n on a vu dans la matrice dans la vidéo présidente que c est un ver cible c'est inversible et on a vu dans la dernière vidéo aussi qu' on a ces fois les coordonnées de x selon la base b qui est égal à mon vecteur x donc où les coordonnées de x selon la base que et de la même façon si on multiplie de chaque côté par l' inverse de la matrice sait on a on n'obtient que les coordonnées de x selon la base b c'est égal à quoi c'est égal à linverse de la matrice c'est fois mon facteur x ou les coordonnées de x dans la base canonique donc maintenant si on utilise ça qu'est ce qu'on peut dire on a que si on revient on n'a que des deux xd fois les coordonnées du x sont la base b des fois les coordonnées de x selon la base b c'est égal à quoi c'est égal aux coordonnées de thé de x selon la base b et les coordonnées de thé de x c'est quoi ça c'est un vecteur et ce vecteur on sait qu'ils les galas à x x la matrice à x x donc ça je peux très bien l'écrire comme les coordonnées du vecteur à x x selon la base b c'est quoi les coordonnées de à x x sur un bac b si je prends je considère que ce vecteur à x x est un vecteur je sais que les coordonnées de à x x selon la bad baisse est égal à linverse de ces fois les coordonnées de à froid x dans la base canonique donc ça c'est égal à je vais écrite une autre couleur c'est égal à ses moins vingt fois à x x et sage obtenir en utilisant cette relation ici maintenant je peux aller encore plus loin qu'est ce que je peux dire je peux dire que maintenant x c'est quoi xc marqué ici cc fois les coordonnées de hic selon la base b donc je vais utiliser cette relation j'ai que donc s'affaisser -1 à ça je garde et du coup je remplace x par c fois les coordonnées de x selon la base b et du coup qu'est ce que j'obtiens si j'ai écrit j'obtiens que des la matrice des x x les coordonnées de x selon havas baisse est égal à linverse de ces fois à fois c'est fois les coordonnées de x selon la base b donc si je réécris un peu toutes nos hypothèses qu'est ce que j'ai dit j'ai dit que des c'est la matrice d et la matrice correspondant à thé correspondant correspondant à thé selon selon mme abbas b selon b j'ai dit que c'est c'est la matrice de changement de base c est la matrice deux changements de base de changement de base donc qui passe de la base canonique à la base b la matrice de changement de base de baies sous-entendu de la base canonique ab et à ckoi à c'est la matrice c'est la matrice correspondant à mon application inerte et selon la base canonique selon la base canonique et si je définis des essais et a comme ceci qu'est ce que j'obtiens j'obtiens d'après ce que j'ai écris ici j'obtiens que des forcément égal al'inverse de ces fois ma batterie sa foi m'a matrice c'est donc ça c'est un résultat très important pourquoi parce que ça me dit que si je connais l'appliquent elle la matrice correspondant à une application linéaire dans la base canonique alors je suis capable de connaître la matrice correspondant à cela même application les nerfs dans n'importe quelle base de 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