Matrice de changement de base

dans cette vidéo on va prendre un ensemble b qui est un ensemble de vecteurs v1 v2 et c'est jusqu'au vecteur vk et on va dire que b est une base d'un sous espace v2r haine et du coup ce qu'on dit c'est que si on a un vecteur à qui appartient à montsoult espace v on peut l'écrire selon les vecteurs de la base on dit que mon vecteur à selon ma base b peut s'écrire comme avec terre dont les coefficients ou les coordonnées de mon vecteurs sont c1 c2 jusqu'à ces cas donc qu'est-ce que ça veut dire si les coordonnées de mon vecteurs sont les c1 c2 jusqu'à ces cas ça veut dire que non vecteur à il peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de mots base et les pois devant ces vecteurs seront laissés y donc ça veut dire que mon vecteur à peut s'écrire comme c'est un v1 plus ces deux faits deux plus et c'était à plus c'est kvk donc mon vecteur à peut s'écrire sous cette forme là et si on réécrit ce qu'ont à cette équation sous forme matricielle qu'est ce qu'on a si on considère une matrice sait qui est égale à la matrice dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs de ma base donc le premier vecteur de la première colonne cv 1 la deuxième colonne cv 2 et cetera jusqu'à vk donc comme j'ai dit on suppose qu'on est dans rn donc ça veut dire que la matrix et est une matrice n fois cas et du coup chaque vecteur vais y est un vecteur de rn donc la gema matrice c est ce que dit c'est que si je multiplie cette matrice par un vecteur colonnes qui n'est pas n'importe quel pied le vecteur colonne des coordonnées de adam la base b donc c'est un ces deux jusqu'à ces cas qu'est ce que je vais obtenir ça va être égal à quoi ça en fait si je suis le calcul je vois que je peux avoir c'est un x v un plus c'est deux fois v2 plus excités rage kck fois avec a donc ça ça va être égal à mon vecteur à ce que j'ai dit c'est que le la matrice le produit de la matrice c'est fois donc ce vecteur qui est le vecteur qui correspond au coefficient 2 ha selon ma base b donc à selon ma base b ça c'est égal le produit demain matrice c'est fois le vecteur des coefficients de a selon mama triste mais c'est égal à mon vecteur à ça c'est une une relation qui est importante et qu'est ce que ça nous disent ça nous dit qu'en fait la matrice sais c'est pas n'importe quel matrice la matrice et c'est une matrice qui nous permet de passer des coefficients de a ou des coordonnées de a selon mahamat selon ma base b au coefficient 2 à tels qu'on les entend généralement donc cette matrice nous permet de passer du vecteur à selon la matrice b au vecteur à selon la base canonique de rnc pour ça que cette matrice on va l'appeler une matrice de changement de base cette matrice est une matrice de changement de base de changement de base ça nous permet de l'écrit de passer de l'écriture de mon vecteur à dans une base à l'écriture de mon vecteur à dans une autre base ici on passe de la base canonique à la base b cette matrice on l'appelle fit une matrice de passage parce qu'on passe d'une base à une autre et alors ce qui est intéressant c'est que du coup si je connais ma matrice c'est ici et que je connais mon vecteur a écrit selon la matrice b donc les les coordonnées de a selon la matrice selon la la base b pardon si je connaissais et les coordonnées de va dans l'âme dans la base b alors je peux connaître les coordonnées de à dans la base canonique et inversement si je connais ma matrice c'est encore une fois et que je connais le les coordonnées de à dans la base communique alors je peux remonter aux coordonnées de à selon la base b donc on va faire on va faire des petits exemples pour un peu illustré ça supposons qu'on ait deux vecteurs on a un vecteur qu'on appelle v1 qui est égal aux vecteurs 1 2 3 mon premier vecteur et j'ai un deuxième vecteur v2 et mon vecteur v2 c'est le vecteur 1,01 est ce que je suis ce que je fais c'est que je vais définir une base à partir de ces deux vecteurs ont tu peux tu peux montrer que ces deux vecteurs sont inhérents indépendant et du coup j'ai créé une base b avec le vecteur v1 et v2 donc en fait baissé la base d'un plan dans r3 les deux vecteurs vont définir un plan et on est bien dans rec 3 vu que chaque vecteurs et dans r3 alors l'idée qu'on va enfin laquelle on va essayer de répondre c'est supposons qu'il y à un vecteur à dont on connaît les coordonnées dans la base b et les coordonnées dans la boîte b on va dire que c'est cette et -4 saas et les coordonnées de à dans la base b emma je voudrais connaître les coordonnées de à dans la base canonique donc à quoi est égal à dans la base canonique alors on peut s'aider de cette relation bien sûr ici la matrice et on peut la construire à partir de ces deux vecteurs on connaît les coordonnées de adam la base b donc on peut connaître les coordonnées de à dans la base canonique c'est ce qu'on va faire alors la matrice sais c'est quoi la matrice et c'est la matrice dans les vecteurs colonnes correspondent aux vecteurs de ma base donc je vois une première colonne 1 2 3 et une deuxième colonne 1 016 je multiplie cette matrice par les coordonnées de adam la base b donc par le vecteur 7.4 le résultat de cette multiplication matricielle va me donner les coordonnées de à dans la base canonique de r3 donc ici j'ai une matrice 3 x 2 3 x 2 ici j'ai une matrice ou un vecteur qui est 2 fois 1 du coup qu'est ce que je vais obtenir je vais obtenir un vecteur 3 x 1 et c'est tout à fait normal parce que le vecteur que je veux obtenir c'est le vecteur des coordonnées de à selon la base économique donc c'est bien un vecteur de m3 alors que ici j'avais un vecteur comment avec deux coefficient parce que j'ai bien uniquement deux vecteurs donc si je fais le calcul qu'est ce que je veux obtenir alors pour la première la première coordonnées je vais avoir une fois cette moins une fois 4 en plus il faut au moins 4 ça fait sept mois car ça fait 3 pour le deuxième je vais avoir deux fois 7 14 - 0 14 les pôles troisième je vais avoir 3 x 7 21 - 4 donc ça fait dix-sept 17 donc ça c'est quoi ces les coordonnées de à selon la base canonique de r3 et du coup c'est bien un vecteur qui appartient on l'a dit ar 3 donc c'est normal qu'il ait 3 coefficient est chic 3 coordonnées alors qu'il n'en avait que deux si on prend ses coordonnées selon la base b donc bien sûr on aurait pu dire que finalement mon vecteur à ses 7 x v 1 pl - quatre fois v2 et du coup on aurait pu obtenir les coordonnées de à selon la base canonique à partir de ça en faisant ce calcul comme ça mais ici on utilise juste la forme générale qui pour obtenir finalement les coordonnées doigt dans la base canonique maintenant si un organe si on essaie de représenter graphiquement ce qu'on vient de dire on a dit que mes vecteur v1 et v2 définissez un plan dans un 3 donc on va définir un plan et j'ai mes deux vecteurs v1 et v2 du coup supposons qu'ils jettent un nul je vais avoir v1 qui va être comme ça et v2 qui va être comme ça donc si je définis ici cette v17 vient ça être un deux trois quatre cinq sets et moins quatre v2 safer - 1 - 2 - 3 - 4 si je les mets ici je vais avoir - 1 - 2 - 3 - 4 donc je vais pouvoir créer mon vecteur à mon vecteur à il appartient toujours au plan il est inclus dans ce plan bleu le plan mieux bien sûr qui s'étend dans toutes les directions et voilà on laisse assez le vecteur à et il est et on peut bien obtenir à partir de vecteurs v1 et v2 mais à partir du moment où on sait que ce vecteur à est inclus dans le plan en fait on a besoin que des deux coefficient ou des deux corps donnés ici pour le définir complètement alors que si on se place dans l'espace r3 on aura besoin de trois coordonnées pour définir mon vecteur à qu'on va prendre un autre exemple supposons que on considère le vecteur d va dire que les coordonnées de dés dans la base canonique de r3 sont huit - six et deux sas et les coordonnées de dés et on va dire que des appartient au plan que j'ai dessiné plus hauts du coup que des appartient aux vectes de v1 v2 rect de v1 v2 ce qui veut dire que dès peut écrire comme une combinaison in her de v1 et v2 et ce qui veut dire également du coût que l'on peut définir les coordonnées de d selon la base de baies et du coup d'après ce qu'on a dit au dessus on à l'égalité la matrice et fois le vecteur des écrits selon la base b qui est égal à mon vecteur d ici on connaît la matrice et on connaît les coordonnées de d selon la base canonique et on va essayer de déterminer ensemble les coordonnées de d selon la base b donc qu'est-ce que j'ai si je réécris matrix et c'est toujours la même c'est le même vecteur v1 v2 escoumins matrix et c'est comme avant c'est 1 2 3 1 0 1 ensuite je vais avoir un vecteur qui correspond au coefficient ou aux coordonnées de dés dans la base b donc je vais dire que ça un vecteur c1 c2 il ya bien que deux coordonnées ça ça va être égal à quoi ça va être égal à mon vecteur d donc 8 - 6 2 alors pour résoudre cette équation soit on peut écrire les systèmes d'équations soit on peut écrire la matrice augmenté correspondant à ce système donc c'est ce que je vais faire la matrice augmenté c'est quoi ces 1 2 3 1 0 1 et je rajoute 8 - 6 2 ça c'est la matrice augmenté donc d'abord je vais faire apparaître des rôles ici et ici donc ça donne quoi si je fais je vais garder la première ligne comme l es11 et 8 et je vais faire là deux fois la première ligne je remplacer la deuxième ligne par deux fois la première ligne - la deuxième ligne donc j'ai 2 2 x 1 donc de -2 ça fait zéro il fait 2 fois 1 du coût 2 - 0 ça fait deux ici j'ai deux fois 8 16 +6 du coup ça fait 22 et emballe je vais remplacer la troisième ligne par trois fois la première ligne - la troisième ligne donc je vais avoir 3 x 1 3 - 3 ça fait zéro ici je vais avoir 3 x 1 3 - 1 ça fait deux et ici je vais avoir 3 x 8 24 - deux ça fait 22 22 donc si on voit que la deuxième ligne la troisième ligne sont les mêmes du coup je vais remplacer la troisième ligne par la troisième ligne - la 2me du coup je vais avoir tu vas écrire la première ligne 1 1 8 la deuxième ligne 02 22 et du coup la troisième ligne - 2 - la première ligne - la deuxième ligne pardon ça va me faire 0 - 0 02 - de 0,22 - 22 0 du coup je vois que ma troisième il va pas m'apporter d'information et du coup maintenant ce que je vais faire c'est que je vais diviser la deuxième ligne par deux donc lors à réécrire la première ligne 1 1 8 et du coup 0 / 2 02 / de 1 22 / de 11 et j'avais écrit matrot 2000 0 0 1 0 et du coup maintenant je suis bientôt juge et je vais vouloir faire apparaître un zéro ici du coup je vais faire ma première ligne - ma deuxième ligne donc je vais avoir joué qui est réécrire madini 01 11 ma troisième l'insee 000 et ma première ligne 1 - 0 1 1 - 1 0 et 8 - 11 - 3 très bien du coup maintenant si je repasse sous forme de mon système d'équations qu'est-ce que j'ai j'ai son système matriciel j'ai la matrice 1 0 0 1 0 0 fois mon vecteur avec les coordonnées de dés dans la base b qui sont c1 et c2 qui est égale du coup à -3 aux vecteurs -3 11 0 et du cou qu'est ce que j'obtiens j'obtiens que 1 est égal à -3 et que ces deux est égale à 11 donc j'ai vérifié à résoudre mon système et maintenant je sais que les coordonnées de d selon la base b ou plutôt des selon la base baisse écrit comme le vecteur -3 11 donc j'ai réussi en connaissant la matrice de changement de base et en connaissant les coordonnées de d selon la base économique à obtenir les coordonnées de d selon la base b qui sont donnés ici et du coup pour finir je peux dire que mon vecteur d peut s'écrire com - trois fois v1 +11 froid v2 et du coup ça tu peux vérifier par toi-même que ça ça nous donne bien les bonnes coordonnées que cette égalité est juste et je te laisse le faire de ton côté