Exemple de recherche de vecteurs propres et d'espaces propres

dans la vidéo précédente on a étudié la matrice à qui et on avait pris l'exemple d'une matrice de 2 qui vaut un de 4,3 et on avait étudié les valeurs propres de 1 on avait dit que lambda est une valeur propre est une valeur propre propre 2 à 6 et seulement si si et seulement si on n'a que le déterminant le déterminant de la matrice lambda identité - à est égal à zéro qu'on a lambda un réel en dha est une valeur propre de 1,6 et seulement si le déterminant de la matrice lambda identité - 1 est égal à zéro et soit dit en passant à chaque fois j'ai pris lambda identité - 20 mai tu pourras avoir parfois certaines personnes écrivent à - lambda identité en fait c'est exactement la même chose qu'on prenne lambda identité - ou pas - lambda identité ça revient exactement au même et du coup en utilisant sa on avait trouvé deux valeurs propres pour me matrix a ici on avait trouvé que lambda est une valeur propre seeland à égal 5 ou lambda égales - 1 qu'on avait trouvé deux valeurs propres différentes pour matrix à et du cool maintenant on a les valeurs pop mais ce qu'ils qu'on voudrait avoir c'est aussi les vecteurs propres associés aux valeurs propres donc on a dit l'équation de de base qui nous amène à parler tout ça c'est quand on a à x un vecteur v qui est égal à lambda v quant à cette équation qui respecte et on appelle landes à la valeur propre et v le hector propres associés du coup il peut y avoir plusieurs lambda et plusieurs vais bien sûr qu'ils vérifient cette équation et on a dit aussi qu'on s'intéresser uniquement au cas où v le vecteur v est différent du vecteur nul donc on s'intéresse à cette équation pour v différent du vecteur nul et on avait déjà un peu travaillé sur cette équation et on va on va on va refaire la même chose pour arriver maintenant à calculer les vecteurs propres donc si on soustrait de chaque côté par à x v on va voir 0 le vecteur nul kiéthéga lalande avait moins a à x v c'est exactement ce qu'on avait fait on avait dit ensuite que v on pouvait décrire comme la matrice identité x v du coup on en a en allant da fois la matrice identité x v - à x v et maintenant on peut factoriser par v et du coup on obtient lambda l'identité - 1 x v fois le vecteur vie qui est égal aux vecteurs nul et du coup on était arrivés là et c'est à partir de là qu'on avait réussi à trouver que lambda est une valeur propre de asi et seulement si le déterminant le lambda identité mois va est égal à zéro ici maintenant on va faire quelque chose d'un peu différent on va dire que pour tout pour tout pour toute valeur propre lambda pour toute valeur propre mandat qu'est ce qu'on a on a en fait que l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre landa en fait cet ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre lambda on va l'appeler l'espace propre qu'on va noter eu de lambda ça ça un nouveau un nouveau mot hi-fi qu'on a qu'on apprend un nouveau vocabulaire ça on appelle l' espace propre l'espace propres et c'est l'espace propres associés à la valeur propre lambda et c'est égal à quoi cet espace propre en fait on voit ici que l'ensemble des vecteurs propres associés à la valeur propre lambda en fait ils appartiennent au noyau de la matrice l'omda identité was a donc en fait l'espace propres associés à la valeur propre lambda ça va être égal au noyau de la matrice lambda identité - n'a en fait c'est ça qu'on va utiliser ses sept c'est le fait que tous les vecteurs propres associés à la valeur à blandas appartiennent au noyau de cette matrice ce ça qu'on va utiliser pour pouvoir trouver ces vecteurs propres ici encore une fois en passant qu'on écrive le noyau de landas identité moisa le noyau de à - lambda identité c'est la même chose donc maintenant on peut commencer à chercher nos vecteurs propres si on commence par la valeur propre lambda égale 5 qu'on avait trouvé prend mandat égale 5 alors du coup le l'espace propres associés aval à la valeur propre 5 donc qu'on appelle e5 c'est égal à quoi c'est égal au noyau de quel matrix alors c'est landa il faut à l'identité ici lambda égale 5 du coût 5 fois l'identité c'est 5 fois la matrice 1 0,01 du coup ça fait la matrice 5 x 1 5 0 fosse 5 00 fonctionne 0 et une fois 5 5 du coup ça c'est la matrice cinq fois l'identité - la matrice un qui est la matrice 1 2 4 3 donc ça ça vaut quoi c'est le noyau de la matrice alors 5 - 1 4 0 - 2 - 2 0 - 4 - 4 et 5 - 3 2 donc on cherche le noyau de la matrix 4 - 2 - 4 2 et alors pour obtenir le noyau d'une matrice comme ça on va calculer la forme et je tenais réduite de cette matrice donc si on fait ça qu'est ce qu'on a on va réécrire la première ligne 4 - 2 et on va remplacer la deuxième ligne par la deuxième ligne plus la première ligne donc si on fait ça on a moins 4 + 4 du coup ça fait zéro et 2 - 2 ça fait zéro donc ça c'est ma matrice on peut continuer on va diviser la première réprime la ligne par quatre du coup si on fait ça remplace la première ligne par la première île divisée par quatre on va voir ici un moins un demi est ici 00 très bien donc là j'ai obtenu la forme échelonné réduite deux matrices lambda identité waza et maintenant si je veux obtenir le noyau de cette matrice qu'est ce que je vais faire il faut que je multiplie cette matrice échelonné réduite par un vecteur on va appeler v1 v2 et on dit que ça c'est égal aux vecteurs nul c'est égal du coup aux vecteurs 00 et du coup si je fais ça qu'est ce que j'obtiens j'ai une foi v1 - 1/2 fois v2 qui est égal à zéro donc v1 - 1/2 de v2 qui est égal à zéro et sur la deuxième ligne j'ai zéro plus zéro qui est égal à zéro donc je peux écrire ça je peux réécrivez un qui est égal à un demi de v2 et si je dis que v2 qui est une variable livre est égale à une réalité à ce moment-là gvt est un qui est égal à un demi 2t et du coup maintenant je peux réécrire mon noyau il vaut quoi mon noyau mon noyau pardon mon noyau oui du coup l'espace propres associés à la valeur propre 5 qui est le noyau de cette matrice g que cet espace propre il est égal à quoi il est égal à l'ensemble des vecteurs v1 v2 tels que ce vecteur soit égal à un réel t fois le vecteur alors ici sur n'a t on à verser un demi de thé du coup là c'est un demi et v2 c et galatée du coup c'est une faute et c'était fois le vecteur 1/2 avec des qui appartient à m donc ça c'est mon espace propre et bien sûr je peux le réécrire de façon plus simple je peux dire que mon espace propre l'illégal à quoi c'est le vecteur du vecteur de ce vecteur et si en fait du vecteur 1/2 un donc l'est propres associés à la valeur propre 5,6 le vectes de du vecteur 1/2 un donc c'est l'espace générés par les combinaisons linéaire du vecteur 1/2 1 donc j'ai trouvé mon premier espace propre j'ai écris ici et maintenant il faut que je trouve l'espace propres associés à la valeur propre landes à égal - 1 donc si je prends landes à égal à -1 ça va être quoi mon espace propre je peux faire comme ici l'espace propres associés la valeur propre landes à égal - ans avec le noyau de la matrice moins une fois lambda - n'a donc l'espace propres associés à la valeur propre - 1 c'est égal au noyau de la matrice moins une fois lambda ça fait moins 1,0 moins une fois par dont la matrice identité c - 20 00 - 1 - la matrice à la matrice assez la matrice un de 4,3 et du coup maintenant on va faire comme avant on va essayer de résoudre ça de trouver le noyau donc c'est le noyau de la matrice si on calcule ici qu'est ce qu'on a n'a - 1 - 1 que ça fait moins 2 0 - 2 du coup ça fait moins 2 0 - 4 ça fait moins 4 et - 1 - 3 ça fait moins 4 donc on va chercher le noyau de la matrice - 2 - 2 - cap - 4 donc pour ça comme avant je vais mettre cette matrice sous sa forme et je tenais réduite donc qu'est-ce que je vais faire je vais remplacer la deuxième ligne par la deuxième ligne moins deux fois la première ligne j'avais écrit la première ligne c'est -2 -2 et la deuxième ligne g - 4 - fois moins deux donc moins 4 + 4 ça fait zéro et -4 plus deux fois moins deux ça fait moins deux fois moins deux pardon ça fait moins 4 + 4 ça fait zéro donc voilà et maintenant pour finir je vais dit viser la première ligne par -2 du coup je vais avoir 1 1 0 0 et du coup maintenant j'aime amatrices sous forme et stone est réduite et du coup si je veux obtenir le noyau de de cette matrice jeu il faut que je multiplie sa part un vecteur v1 v2 et dire que tout ça ça doit être égale aux vecteurs nul le vecteur 00 alors si je reste ou ça j'ai une foi v1 plus une fois v2 égal à zéro v1 plus v2 égal à zéro et 0 plus heureux égal à zéro donc ça veut dire que j'ai v1 qui est égal à - v2 et si comme avant je considère que v2 qui est une variable est variable libre est égal à réal tv2 et galatée à soulager v1 qui est égal à moin té et du coup mon mon espace propre associé à la valeur propre - un iroquois l'espace propres associés à la valeur propre - 1 c'est égal à l'ensemble des vecteurs v1 v2 qui sont égaux à un réel t fois le vecteur alors v1 c'est moin té du coup c'est moins une fois tu es et v2 et galatée donc c'est une fois tu es c'est l'ensemble des vecteurs tréfois le vecteur moins 1,1 ou des appartient à m c'est l'espace propres associés à la valeur propre morin et je peux le réécrire plus simplement cet espace propre associé à la valeur propre vin c'est tout simplement le vectes du vecteur moins-11 c'est l'ensemble des vecteurs obtenu par combinaison lunaire du vecteur moins-11 donc ça y est maintenant on a donné aux deux espaces propres associés à nos deux valeurs up donc on connaît tous les vecteurs propres associés à ces deux valeurs propres et l'art maintenant on peut on peut essayer de les représenter graphiquement donc si je fais si je dessine mon plan en deux dimensions comme ceci qu'est-ce que j'ai alors j'ai pigé un figer un et on a vu que l'espace propres associés à la valeur propre 5 c'est le vecteur du vecteur 1/2 un donc le vecteur en 2001 c'est ce vecteur ici c'est un vecteur comme ceci est du coup l'espace propres associés à la valeur propre 5 c'est la droite générés par ce vecteur du coup c'est une droite comme ceux ci ça c'est ce qu'on a appelé ses l'espace propres associés à la valeur propre 5 et du coup qu'est ce que ça veut dire sur ces vecteurs qu'est ce que ça veut dire si je multiplie ce vecteur par matrix a du coup si je fais à foix ce vecteur là je vais avoir ce ça va donner quoi ça va donner cinq fois ce vecteur du coup ça va me donner un vecteur qui va toujours être sur cette droite et qui va être juste x 5 donc ça va donner quelque chose comme ça donc si je j'applique l'application in her associé à matrice à à ce vecteur ici ça va me donner un vecteur comme sophie qui sera dont la longueur sera cinq fois plus grande mais qui sera toujours sur cette droite avec la même direction est ici dans le même sens et si je regarde maintenant ma deuxième valeur propre qui est moins 1 on a dit que l'espace propres associés à la valeur propre - 1 c'est le vecteur du vecteur moins-11 le vecteur moins-11 il est il est comme ceci ce vecteur là et du coup si on regarde l'espace propre c'est la droite engendrés par ce vecteur donc c'est la droite comme ceux ci comme ceux ci ça c'est l'espace propres associés à la valeur propre -1 et du coup si j'applique l'application linéaire associé à à la matrice à à ce vecteur ici qu'est ce que je veux obtenir je vais obtenir moins une fois ce vecteur et du coup ça à faire quelque chose comme ceci si j'applique l'application linéaire associé à la matrice à à ce vecteur ici en bleu je vais obtenir le vecteur jaune qui est moins une fois le vecteur bleus et de la même façon si j'applique cette même application in her un vecteur comme ceux ci c'est pas très clair et c'est dans cette couleur ce vecteur ici comme ceci j'applique l'application linéaire associé à à à ce vecteur je vais obtenir un vecteur qui est moins une fois ce vecteur à qui et va être comme ceci donc en fait j'ai juste multiplier ce vecteur pas moins un si je me trouve sur cette droite en bleu est appliquée l'application in her associé à un vecteur de cette droite bleus ça revient obtenir le vecteur qui est moins une fois le vecteur initiale alors que appliquée l'application in her associé à un vecteur de cette droite ici en violet ça revient multiplier ce vecteur par 5 voix donc ça c'était pour expliquer un peu graphiquement qu'est ce que ça veut dire ses valeurs propres et ses vecteurs propre et maintenant j'espère que tu as bien compris comment les a obtenus et je te dis à bientôt pour la prochaine vidéo