Montrer qu'une base propre est un bon système de coordonnées

quand on a commencé à parler des vecteurs profs des valeurs propres etc j'avais dit que ces vecteurs preuve pouvait être intéressant parce qu'il pourrait former des vecteurs intéressant pour une base mais ça je l'avais jamais montré jamais montré que ces vecteurs qu'elle pouvait être l'application des vecteurs propre comme vecteur d'une base comme vecteur d'une base et ça va être l'objet de cette vidéo alors l'idée c'est que comme d'habitude on prend une application linéaire qu'on va appeler tai chi est une application in her de r n dans aer n dans l'arène et du coup tu es 2 x si on prend x un vecteur de rnt 2x c'est égal à une matrice à foix le vecteur xl7 matrix a du coup vu qu'on est 2e et rennes 2 rennes cette matrice as c'est une matrice n x n est du coup ce qu'on va faire ici c'est qu'on va supposer que sur nos coûts supposons supposons que la matrix a et n vecteur propres qui sont linéairement indépendant supposons que à à haisnes vecteur propre vecteur propres qu'ils soient linéairement indépendant c'est pas forcément vrai mais on va supposer que notre matrice à possède n vecteur propres qui sont linéairement indépendant du coup on va appeler ses vecteurs propre on va dire que ces vecteurs v1 v2 et cetera jusqu'à vn dans cette vidéo on va montrer que ces vecteurs forment une base qui est intéressante déjà on sait qu'ils forment une base parce que on a hand vecteur qui sont linéaments indépendant du coup ils forment une base de rn on va voir pourquoi est ce que ces vecteurs peuvent être intéressants la première chose qu'on sait c'est que si on calcule t de v1 tête v17 égal à quoi cette égal à a fois v1 à x v 1 mais s'est aussi vu que v1 est un vecteur propres on sait que c'est égal un certain réel qu'on va t'il lambda 1 x v 1 ça c'est par définition vu que v1 est un vecteur propre tête v17 égal à lambda 1 x v 1 de la même façon on n'a que tu es de v2 c'est égal à quoi s'était gala à fo avait deux mais c'est aussi et gala lambda 2 un autre réel peut-être le même dr mais un certain réel fois v2 et on peut continuer comme ça et on va finir tes de vn c'est égal à quoi s'était gala à foix vn mais c'est aussi à la lambda nvn donc voilà donc où on a des expressions pour l'été devait y est alors l'autre chose qu'on peut dire ça ça paraît extrêmement trivial mais c'est important de le dire ici c'est que ça on peut très bien dire que c'est lambda 1 v1 +0 v2 plus etc jusqu'à 0 x v n va on peut on peut tout à fait le dire la même façon on peut dire que lambda de v2 c zéro x v un plus lambda deux fois v2 plus éclairage jusqu'à 0 x vn et de la façon pour finir on peut dire que lambda nvn c'est zéro un + 0 v2 plus etc jusqu'à lambda nvn alors ça ça paraît extrêmement extrêmement trivial mais on va voir dans la suite que ça peut être utile de voir les choses de cette façon là du coup ce qu'on va faire c'est qu'on va définir une base on va dire que cet ensemble de vecteurs forme une base qu'on appelle la base b et à ce moment là qu'est ce qu'on a si on prend place dans la base canonique de rn on peut passer de x1 vectrix aux vecteurs t2 x en multipliant on le sait par la matrice à mais on peut aussi passer de x aux cours donnés de x coordonnées de x dans la base b en multipliant x par la matrice inverse de ces s'étend la matrice de passage et de la même façon on peut passer de les coordonnées de x dans la base bo coordonnées du x dans la base canonique en multipliant par cette matrice et on sait qu'on peut aussi passer des cornées 2x dans la base b aux coordonnées de thé 2x dans la base des coordonnées de thé 2x dans la base b en multipliant x les coordonnées de higgs la base b par une matrice des combats qu'on va déterminer plus tard et pour finir la boucle on peut passer des coordonnées de thé du x dans la base bo coordonnées de tjx selon la base économique en multipliant par la matrice et où l inverse en multipliant par l' inverse de la matrice c'est alors ça c'est quelque chose qu'on a qu'on a déjà vu mais ce qui est important et ça on l'avait vu que ça pouvait être utile si la matrice des était une matrice sur lequel il était facile de travailler à ce moment-là ça pouvait être intéressant plutôt que de passer directement de x à tes 2 x 2 passes et des cordes dans le dans la base canonique cours de coordonnées de 2 x dans la base des puits aux coordonnées x dans la base b pour revenir aux coordonnées de x dans la base canonique si si cette matrice a des propriétés intéressantes c'est ça qu'on va voir alors du coup cette matrice d on va essayer de la déterminer qu'est ce qu'on peut dire on peut dire que eux si on regarde les coordonnées de thé du x dans la base b pour certains x particulier par exemple je regarde pour les vecteurs de la base on va avoir que tu es de v1 selon la base b les coordonnées de tv 1 selon la base b qu'est ce que c'est alors on l'a dit les coordonnées de tête v1 c'est donc c c et galt et devient ségala lambda 1 v1 et du coup selon l'essai corner selon la base b ça va être quoi ça va être un vecteur nous on va voir qu'est-ce qu'on a ce l'on vient on à landas un coup le premier confiance landes à 1 et ensuite le deuxième c'est zéro parce qu on a zéro v20 v3 et serge casero vnc lambda 1 et que des 0 ça c'est les coordonnées de thé devient selon la base b mais on sait aussi que ça c'est égal à quoi c'est égal à quelque chose la matrice des je peux dire que c'est une matrice je peux l'aider finir par ces vecteurs que l'onu peut dire que le premier vecteur colonnes cédé 1 ensuite j'ai des 2 etc jusqu'à dng tous ces vecteurs colonnes deux matrices des socios amatrice des et s'est du coup cette matrice des fois les coordonnées de hic selon la base b les coordonnées de x selon la base b c'est quoi ici on a hâte et revient c'est le premier vecteur de la base du cou ses coordonnées c'est une fois v1 +0 avait deux plusieurs os x v 3 etc jusqu'à 0 x vn et du coup ça ça vaut quoi ça vous des 1 x 1 plus des deux fois 0 et c'est logique adn x 0 du coup ça fait d un du coup je sais que le premier la première colonne deux matrices des ça va être égal à ce vecteur ici je peux continuer je peux faire la même chose pour v2 par exemple gt2 b2t de v2 les coordonnées de tv2 selon la bbc quoi on a dit que tu es lever 2,7 et cala lambda 2 v 2 du coup ses coordonnées selon la bad b c zéro x vient lambda deux fois v20 avait trois extérieurs jusqu'à 0 x v m du coup c'est égal à ça et c'est égal à quoi si on reprend cette notation c'est égal à la matrice des ducs ou d1 d2 jusqu'à dn fois vais deux fois les coordonnées de v2 selon la base b et les coordonnées de v2 selon la bbc 0 avait un plus v2 plusieurs os x v 3 etc jusqu'à 0 x vn et du coup ça ces gars là qu assez égal à zéro fois d un plus des 2 + 0 voix des trois etc du coup c'est égal à des deux et du coup je sais que la deuxième colonne de matrice d elle est égale à ceux ci très bien et maintenant je peux continuer je peux faire la même chose car tu es de vn tpn les coordonnées de tvn selon la bbc égal à quoi tvn c'est égal à lambda nvn du coup c'est zéro x v 1 + 0 x b2 et c jusqu'à lambda n fois vn et ça on sait que c'est aussi égal à quoi de la même façon que précédemment c'est la matrice des ducs ou d1 d2 jusqu'à dn fois les coordonnées de vn selon la base b et les coordonnées de vienne sur la base b c zéro avait un + 0 x b2 et c jusqu'à une fois viennent donc ça vous quoi ça vous 0 fois d un plusieurs fois des 2 etc jusqu'à une fois drg koussawo dn du coup la énième colonnes deux matrices dlv ce vecteur ici et du coup à partir de tout ça maintenant je peux écrire que ma matrice d c'est égal à quoi le premier vecteur le premier vecteur s'est du coup on a dit lambda un puits que des 0 c'est le deuxième la deuxième colonne c'est zéro lambda 2 0 et que des 0 et en fait on va continuer comme ça on mettait en mettant les landes d'aï sur la diagonale jusqu'à arriver à luanda n est ici à côté de la diagonale on va avoir que des 0 et on va voir des zéro partout du coup ma matrice des ces matrices qui est une matrice diagonale il ya des zéro partout sauf sur la diagonale et du coup c'est une matrice sur lequel il est extrêmement facile de travailler parce que une matrice diagonale si on la met au carré on a juste à multiplier tous les éléments de la diagonale par eux mêmes du coup ça fait juste des au carré ça va être lente d'anacarde lambda deux carrés qui s'étend jusqu'à longue date car et c'est très facile du coût de la calculer on peut calculer son inverse si assez facilement etc etc du coup dans cette base un peu particulière qui est composé de deux vecteurs propres de matrix qui sont linéairement indépendant si gm vecteur linéaire membres indépendants à ce moment là cette matrice d est extrêmement facile à obtenir c'est extrêmement facile de faire des calculs sur cette matrice d et du coup ça devient utile de faire ce chemin un peu plus compliqué pour pouvoir travailler sur une matrice dès qu'une matrice sur lequel il est assez agréable de travailler du coup dans le cas où on utilise des deux par exemple ci n est grand si la la matrice à est assez compliqué et c'est si cette matrice aaen vecteur propre linéairement indépendant on a souvent intérêt à aller à calculer cette matrice des pour pouvoir en fait faire des calculs plus simplement quel que soit le domaine dans lequel on a besoin de faire ses calculs j'espère que maintenant tout ça c'est c'est plus clair pour toi et que tu as compris pourquoi il y avait un intérêt à étudier les vecteurs robe les valeurs propre et les espaces propres