Une projection sur un sous-espace vectoriel est une application linéaire

dans cette vidéo on va considérer la projection d'un vecteur x sur un sou espace vais donc on dit que v c'est un sou espace de r n et on suppose qu'on connaît une base devait on dispose qu' une base de v est composé des vecteurs b1 b2 et c a jusqu'à bk on suppose que v et de dimensions cas du coup il ya ka vecteur dans la base devait ça on a dit c'est une base devait base de v et on va supposer on va supposer qu'on a un vecteur à qui appartient à montsoult espace v et du coup à peut écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base donc à l'égal à un certain y 1 x b1 plus y deux fois b2 plus et cetera jusqu'à y cas x b k voilà donc à peser crif comme une combinaison lumière des vecteurs de ma base alors maintenant si on considère une matrice on va considère on va considérer une matrice à une matrice qui est n fois cas et cette matrice cas et cette matrice ah pardon elle est définit par en vente chaque colonne de la matrice à va être un vecteur colonnes de la base devait donc la première colonne ça va être des uns la deuxième que l'on va être b2 et c est qu elle à cayenne colonnes parce que ak colonnes qui va être bk donc là j'ai conduit j'ai construit une matrice n fois cas parce que chaque baie et de dimensions n vu que v est un sou espace de rn et gk vecteur donc gk colonnes alors maintenant si on considère encore une fois notre vecteur à qui appartient avait as écrit encore comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base du cou en fait il existe un y tels que à soit égal à la matrice à foix un vecteur y ça c'est vrai pour un certain pour un certain y qui appartient à m car cette fois ci rkk fait c'est évident pourquoi parce que si on multiplie cette matrice à part un vecteur y un y 2 jusqu'à y cas qu'est-ce que j'ai j'ai que à foix y ça me donne quoi ça me donne y 1b un plus y 2 p2 plus etc jusqu'à y k b k donc j'ai bien que mon vecteur ice obtient comme le produit de la matrice à foix un vecteur y de la même façon si je prends supposons que je prenne un vecteur x qui appartient à arn donc quelques et je m'intéresse à la projection de ic sur v la projection je vais de mon vecteur x ça c'est un vecteur qui appartient avait la projection de x sur v appartient avait donc qu'est ce que ça veut dire d'après ce qu'on vient de dire au dessus ça veut dire que la projection sur v demain vecteur x plus écrire comme à foix un certain vecteur y pour un certain un certain y appartenant à air cas et du coup on peut aussi dire que x est égale à la projection sur vais de mon secteur x plus un vecteur w ou double v et un membre est un membre unique 2 du complément orthogonale devait donc on peut réécrire sa a comme w est égal à x - la projection sur v2x avec ix - la projection de v2x sur v qui appartient aux compléments automnale de v mais c'est quoi le complément orthogonale de v v on a dit que c'était l'espace qui étaient générés par les vecteurs b1 b2 bk et cet espace générés par les vecteurs b1 b2 bkc aussi l'image de a donc on a que v c'est égal à l'image de a en fait on a construit la matrice à de telle façon à ce que v soit l'image de à et du coup le complément orthogonale devait c'est quoi c'est égal aux compléments orthogonale de l'image doit complément orthogonale de l'image de à et c'est quoi le comp le complément orthogonale de l'image doit ça on l'a déjà vu dans une vidéo précédente c'est le noyau c'est égal au noyau de la transposer de a donc si ce qu'on a dit ici on a dit que x - la projection de xserve et appartient aux compléments au togo nal dois je le réécris 6 x - la projection de x sur v appartient au noyau de la transposer 2a et du coup ça veut dire quoi ça veut dire que chien multiplient la transposer de à part ce vecteur là on doit obtenir le vecteur nul je vais écrire donc ça veut dire que la transposer de à foix le vecteur x - la projection sur le v2x est égal aux vecteurs nul car ici c'est embêtant pour le calcul de de décrire à chaque fois la projection de xserve et mais on avait vu que la projection de xserve et c'est égal à quoi c'est égal à a fois un vecteur y ça on va l'écrire comme à x y avec un vecteur y est du coup ce qu'on va essayer de faire ici c'est d'obtenir une expression pour y parce que si on connaît y alors on connaît la projection du vecteur x sur v donc si je développe cette expression qu'est ce que j'obtiens ici j'obtiens la transposer de à foix le vecteur x - la transposer de à foix à foix le vecteur y qui est égal à zéro donc ça ça veut dire que la transposer de à x x est égale à la transposer de à foix à x y or à est une matrice dont les colonnes sont linéairement indépendante vu que ce sont les les vecteurs d'une base ils sont forcément linéairement indépendant donc à est une matrice est une matrice dont les vecteurs colonnes les vecteurs colonnes sont linéairement indépendant et en fait on avait vu dans une vidéo via un moment que si à est une matrice dont l'école dans les vecteurs colonne son hymne herman indépendant alors alors la matrice transposer de à foix à ça c'est bien une matrice cette matrice est inversible alors qu'est ce que ça veut dire qu'une matrice est inversible ça veut dire qu'on peut prendre son inverse ça veut dire qu'ici on peut multiplier de chaque côté par l' inverse de la matrice athée fois à et du coup on pourra obtenir une expression de y donc si on fait ça on va multiplier de chaque côté par la matrice inverse de la transposer de à foix a donc ici je vais avoir transposé de à foix à inverse fois la matrice transposer de à x x qui est égale à la matrice inverse de la transposer de à foix à foix à transposer à y donc d'après ça ici on à linverse d'une matrice fois la matrice donc ça fait ça ça me donne la matrice identité la matrice identité la matrice identité fridriksson y donc j'obtiens que y est égal à quoi est égal à ce qu'on a ici donc linverse de la matrice athée fois à fois la matrice transposer de à x x donc là j'ai bien obtenu une expression pour y est maintenant si je veux savoir à quoi est égale la la projection de x sur v gk x la matrice a donc j'obtiens que la projection sur v demont vecteur x est égale à la matrice à fois la matrice inverse de la transposer de à foix à fois la transposer de à fois mon facteur x donc là j'ai obtenu une expression de la projection de mon vecteur vais de mon facteur x sur v ici la sete cette expression là à fois la matrice inverse de transposer de la fois fois la transposer 2 à 7 une matrice ça c'est une matrice donc en fait la projection du vecteur x sur vc une application linéaire c'est une application linéaire alors bon ça cc c'est bien sûr une matrice qui est assez difficile à calculer surtout si on se place dans aer r 100 par exemple ça va être très difficile de calculer cette matrice mais par contre c'est quand même un résultat qui est extrêmement utile pourquoi dès qu'on veut visualiser en 3d par exemple si j'ai un objet 3d on va prendre un incube j'ai un cubi fille en 3d est bon je suis graphiste 3d j'aimerais savoir à quoi ressemble ce cube sur dans ce plan ici qui si j'ai un ce plan un plan qui est le plan de de l'observateur et je voulais savoir à quoi ressemble ce cube dans ce plan qu'en fait ce que je vais faire c'est que je vais faire la projection de cet objet dans ce plan et du coup je vais bien faire une projection et pour ça je vais avoir besoin de calculer cette matrice ici et comme ici on est uniquement trois dimensions ça va être finalement ça va être faisable et je vais pouvoir arriver grâce à cette expression à obtenir la projection de cet objet en trois dimensions sur mon plan en deux dimensions et comme ça je vais pouvoir savoir à quoi ressemble mon cubes selon pour n'importe quel observateur