Un autre exemple d'une matrice de projection

dans cette vidéo on va s'intéresser un sou espace v et on va dire que wc le sous espace défini par l'ensemble des vecteurs x1 x2 x3 tels que x1 plus x 2 plus x3 soit égal à zéro en fait si on l'écrit comme ça ça veut dire que vers présente un plan dans est roi et nous on va s'intéresser à la projection sur v d'un vecteur quelconque x donc la première chose qu'on peut dire c'est que si on a x 1 +62 +63 cattégat la 0 on peut aussi écrire x1 qui est égal à moins x 2 - x3 et du coup ci remplace x2 x3 par des des constantes si on dit que x2 est égale à une constante ces deux et que x3 et égaler une constante ces trois en fait on considère que x2 et x3 sont des variables livre à ce moment là on peut réécrire v on peut dire que v c'est l'ensemble des vecteurs x1 x2 x3 qui sont égaux à quoi qui sont égaux à ces deux fois le vecteur ici on va avoir ici du coup sûr en place 6 2 par ces deux et x3 par ces trois on a x5 est égal à égal qui est égal à moins c'est 2 plus c'est 3 est en fait c'est moins ces trois donc c'est plus c'est trois fois moins 1 et x2 et égalera dias et 2 0 c'est roy hill 3 est égal à zéro ses deux plus ces 3 donc en fait leur deuil une autre expression de mon souhait ce pas achevé et bien sûr ça une fois qu'on a ça on voit directement kfw en fait on peut l'écrire comme le vecteur comme le vecteur des deux vecteurs -1 1 0 et -1 01 et on voit aussi directement que ces deux vecteurs forment une base devait on a une base de v donc si on a une base devait on peut définir une matrice à c'est ce qu'on a fait dans la donne en vidéo à partir des deux vecteurs de la base du cou - 1 1 0 - 1 0 1 et à soir là on sait que la projection projection sur v2 mon facteur x ça écrit comme la matrice à foix linverse à transposer de à foix à fois la transposer de à foix le vecteur x dans la dernière vidéo ce qu'on a fait c'est qu'on a calculé la transposer deux appuis on a calculé linverse de la la transposer deux fois et ensuite on a calculé comme ça cette matrice de projection de façon un peu calculatoire ici l'idée de cette vidéo c'est de faire ça d'une façon un petit peu différente donc ici ce qu'on va dire c'est que si on prend 1 x qui appartient à r31 vectrix appartenant à air 3 ça veut dire que on peut écrire x sous la forme d'un vecteur v qui appartient à mon sujet vplus un vecteur w qui appartient aux compléments orthogonale devait donc où v appartient un grand v et w appartient aux compléments orthogonale devait à ce moment là on sait que v représente la projection octogonale 2x sur v et w la projection orthogonale 2x sur le complément orthogonale devait on peut réécrire x comme la projection la projection sur v2x plus la projection sur le complément orthogonale de v2x et ici on sait que la projection orthogonale devait sur x c'est en fait ces gars là une certaine matrice x x salon c'est une matrice qu'on va appeler b donc on sait que la projection de v2x sur vcb x x et de la même façon on va dire que la projection de x sur le complément orthogonale devait on va dire que ces gars là une matrice et x x donc maintenant ce qu'on peut faire c'est x on peut réécrire comme le produit de l'identité x x donc on va agréer écrire ça on va dire que c'est l'identité x x qui est égal à quoi ça on a dit que c'était légal a b x x donc c'est égal à b x + cx donc on a mis trois si on factories i 3 x est égal à b + c x x et donc si il 3 est égale à 6,3 x est égal à b + c x x ça veut dire que si 3 forcément doit être égale à la matrice b plus c'est qu'on a il 3 qui est égal à b + c est ce qui est intéressant c'est que nous ce qui nous intéresse c'est d'obtenir la matrice b et on a que la matrice b elle est égale à 6,3 - cé alors pourquoi c'est intéressant parce qu'ici la matrice b pour la calculer il faudrait calculer la transposer de la matrice appui calculé linverse de la matrice de transposer de la fois à puis ensuite faire le calcul donc c'est un service qui doit être un peu un peu difficile ici alors que peut-être la matrice et peut être obtenu beaucoup plus simplement et si la matrice ses soutiens facilement alors on arrivera à calculer très facilement si la matrice b donc dans cette vidéo on va essayer la de calculer la matrice est alors si on repose notre problème on avait dit initialement que vct égal à quoi vc l'ensemble des vecteurs x1 x2 x3 tels que x1 plus x 2 plus x3 est égal à zéro ça on peut très bien là écrire comme la matrice 1 1 1 fois le vecteur x1 x2 x3 qui est égal à zéro en fait aux vecteurs nul deux dimensions 1 ça veut dire quoi ça ça veut dire qu'en fait mon souhait espace v v je peux le réécrire comme le noyau de cette matrice wc égal au noyau de la matrice 1 1 1 et nous on a dit que ce qui nous intéressait c'était de pouvoir calculer la matrice c est matrix et on a dit qu'en fait ça correspond à la projection de x sur le complément orthogonale devait du coup ce qui nous intéresse c'est de pouvoir définir le complément orthogonale devait et si on sait que si v c'est le noyau de cette matrice le complément orthogonale de wc égal à quoi c'est égal aux compléments automnale du noyau de cette matrice de la matrice 1 1 1 et le complément orthogonale d'une matrice c'est quoi c'est égal on sait à l'image de la matrice transposer c'est l'image ici de la matrice 1 1 1 du coup maintenant on voit qu'on arrive à avoir une expression où on sait à quoi correspond le complément orthogonale devait on peut encore simplifiée en disant que l'image de cette matrice à 1 c'est égal directement aux vectes du vecteur 1 1 1 c'est égal aux vecteurs aux actes de ce vecteur qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que si on considère qu on a dit que v c'était un plan donc si on dessine v comme ceux ci un plan tant r3 ça en dit s'élever à quoi correspond woerth au canal v orthogonale le complément orthogonale pardon devait correspond à une droite orthogonale avait ça c'est le complément orthogonale devait et du coup ici ce qu'on peut faire on peut définir une matrice d qui est la matrice qui s'obtient à partir des vecteurs de la base du complément au canal devait donc ici savait très simple vu qu'il ya qu un seul vecteur ça va être la matrice 1 1 1 et à ce moment là on sait que la projection sur le complément orthogonale devait du vecteur x direct x serait égal à quoi à matrice des fois linverse de la matrice transposer de des fois des fois la matrice transposer de des fois le vecteur x et tout ça ça ça va me donner ma matrice sait mais on voit que c'est plus simple de travailler sur mathis défi que sur la matrice a ici donc c'est ce que je vais faire donc ma matrice des transposer ça vaut quoi des transposer c'est égal à la matrix 1 1 1 donc si je calcule maintenant des transposer fouad et ça fait 1 1 un if i don qui j'ai une matrice 1 x 3 ici j'ai une matrice 3 x 1 donc au final je vais obtenir une matrice 1 x 1 donc ça va être quoi matrice ça va être un x 1 + 1 x 1 + 1 x 1 ça va faire trois donc la projection sur le complément orthogonale de mon vecteur vais de mon facteur x c'est égal à matrice des donc matrice des c1 1 1 fois l' inverse de matrix un ravin qui correspond à 3 fois matrice des transposer donc qui est la matrice 1 1 1 alors ce qu'il nous reste à savoir si ça vaut quoi cette matrice linverse d'une matrice un par un ce qu'on sait c'est que comment est ce qu'on définit la base d'une matrice on à linverse d'une matrice fois la matrice qui vaut l'identité qui vole l'identité donc ici ici ma matrice à ces matrices un parent qui vaut trois matrices inverse donc celle fille qu'est ce qu'elle vaut alors la matrice identité ici c'est la matrice qui vaut juste un en fait on voit que le produit ça va donner quoi ça va donner le gris fieschi foix iii qui doit être égale à 1 donc ça veut dire que le coefficient qui doit être égale à un tiers donc ma matrice inverse c'est la matrice avec un coefficient qui vaut un tiers donc une fois qu'on a ça on peut continuer le calcul donc on va passer le 1/3 devant puisqu'en fait ici c'est une matrice un parent donc en fait c'est comme un scalaire d'un coup on peut passer devant du coup ma projection ça va valoir un tiers de ma matrice des fois la matrice transposer 2d et ça ça vaut quoi donc je vais garder mon un tiers hi-fi et en fait ici j'ai une matrice 3 x 1 ici j'ai une matrice 1 x 3 du coup la matrice que je vais obtenir ça va être une matrice 3 x 3 donc qu'est-ce que je vais avoir en fait j'avais trop matrix avec que d un partout si java 1 1 1 1 1 1 1 1 1 donc cette matrice ici cette matrice que j'ai ici qu'avec le 1/3 devant c'est ma batterie cesser la matrice que je voulais obtenir et du coup maintenant je m'intéresse à la projection la projection sur v2 mon facteur x on a dit que c'était égal à matrice b x x ou la matrice b elle s'obtient comme la matrice identité - la matrice est donc ça veut dire quoi ça veut dire que c'est la matrice identité donc c'est la matrice où j'ai des 1 sur la diagonale et des zéro partout ailleurs est la matrice et s'est du coup la matrice que j'ai écrite au dessus c'est un tiers de 1 1 1 1 1 1 1 1 1 donc pour rendre les choses plus simples faciliter le calcul ce que je peux faire c'est faire apparaître un tiers de vent et du coup il faut que je multiplie il fit ou par trois donc si j'ai ça maintenant je peux factoriser par le 1/3 je dire que je vais avoir un tiers 2 donc en fait si je vais faire à chaque fois je vais faire le coefficient clichy - ceux qui sont ici donc sur la diagonale je vais voir 3 - à chaque fois donc je vais avoir 3 - fait deux donc gérard 2 2 2 et un dehors de la diagonale je vais avoir 2 0 - 1 donc ça va le faire - 1 partout donc moins 1 - 1 - 1 - 1 donc ma matrice b elle est égale à cette matrice hi-fi donc on voit que ça aurait été assez compliqué finalement de travailler directement avec la matrice à mais au lieu de travailler sur la matrice harnes a travaillé en fait sur la matrice qui correspond aux compléments orthogonale de vecchi elle est beaucoup plus simple si cette matrice hi fi et du coup on a réussi à obtenir facilement la matrice b qu'on peut écrire comme cela